1、1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积,第一章 1.3 空间几何体的表面积与体积,学习目标 1.了解柱体、锥体、台体的表面积与体积的计算公式. 2.理解并掌握侧面展开图与几何体的表面积之间的关系，并能利用计算公式求几何体的表面积与体积.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,知识点一 棱柱、棱锥、棱台的表面积,特别提醒 棱柱、棱锥、棱台的侧面积与表面积 将棱柱、棱锥、棱台的侧面展开，其侧面展开图分别是由若干个平行四边形、若干个三角形、若干个梯形组成的平面图形，侧面展开图的面积就是棱柱、棱锥、棱台的侧面积. 棱柱、棱锥、棱台的表面积等于它们的侧面积与各自的底面积的和.,展开图,知
2、识点二 圆柱、圆锥、圆台的表面积,2r2,2rl,2r(rl),r2,rl,r(rl),(rlrl),r2,r2,(r2r2rlrl),知识点三 柱体、锥体与台体的体积公式,底面积,高,底面积,高,上、下底面面,积,高,1.锥体的体积等于底面面积与高之积.( ) 2.台体的体积可转化为两个锥体的体积之差.( ) 3.斜三棱柱的侧面积也可以用cl来求解，其中l为侧棱长，c为底面周长.( ),思考辨析 判断正误,题型探究,例1 现有一个底面是菱形的直四棱柱，它的体对角线长为9和15，高是5，求该直四棱柱的侧面积.,类型一 柱体、锥体、台体的侧面积,解答,解 如图，设底面对角线ACa，BDb，交点为
3、O， 对角线A1C15，B1D9， a252152，b25292，a2200，b256. 该直四棱柱的底面是菱形，,AB8. 直四棱柱的侧面积S485160.,反思与感悟 空间几何体的表面积的求法技巧： (1)多面体的表面积是各个面的面积之和. (2)组合体的表面积应注意重合部分的处理. (3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和.,跟踪训练1 (1)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为 A.20 B.24 C.28 D.32,解析,答案,解析 由三视图可知，组合体的底面圆的面积和周长均为4，,
4、圆柱的侧面积S柱侧4416， 所以组合体的表面积S816428，故选C.,(2)圆台的上、下底面半径分别是10 cm和20 cm，它的侧面展开图的扇环的圆心角是180，求圆台的表面积.,解答,解 如图所示，设圆台的上底面周长为c cm， 由于扇环的圆心角是180， 则cSA210，解得SA20 cm. 同理可得SB40 cm. 所以ABSBSA20 cm. 所以S表S侧S上S下(1020)201022021 100(cm2).,例2 (1)一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为,类型二 柱体、锥体、台体的体积,解析,答案,解析 该空间几何体由一圆柱和一正四棱锥组成，圆柱的底面半径为1
5、，高为2，体积为2，,(2)一个直棱柱被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A.9 B.10 C.11 D.,解析,解析 由三视图可知该几何体是在底面为边长是2的正方形、高是3的直四棱柱的基础上，,答案,所以V43111.,反思与感悟 (1)求简单几何体的体积.若所给的几何体为柱体、锥体或台体，则可直接利用公式求解. (2)求以三视图为背景的几何体的体积.应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解.,跟踪训练2 已知某圆台的上、下底面面积分别是，4，侧面积是6，则这个圆台的体积是_.,解析,答案,解析 设圆台的上、下底面半径分别为r和R，母线长为l，高为
6、h， 则S上r2，S下R24. r1，R2，S侧(rR)l6.,命题角度1 等体积变换法 例3 如图，已知ABCDA1B1C1D1是棱长为a的正方体，E为AA1的中点，F为CC1上一点，求三棱锥A1D1EF的体积.,类型三 几何体体积的求法,解答,解 由 ，,又三棱锥FA1D1E的高为CDa，,引申探究 例3中条件改为点F为CC1的中点，其他条件不变，如图，求四棱锥A1EBFD1的体积,解答,所以四边形EBFD1是菱形. 连接EF，则EFBFED1. 因为三棱锥A1EFB与三棱锥A1FED1的高相等， 所以 .,反思与感悟 四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可.
7、,跟踪训练3 如图，在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，求点A到平面A1BD的距离d.,解答,解 在三棱锥A1ABD中，AA1平面ABD，ABADAA1a，, ，,命题角度2 割补法求体积 例4 如图，在多面体ABCDEF中，已知平面ABCD是边长为4的正方形，EFAB，EF2，EF上任意一点到平面ABCD的距离均为3，求该多面体的体积.,解答,AB2EF，EFAB， SEAB2SBEF. V三棱锥FEBCV三棱锥CEFB,多面体的体积VV四棱锥EABCDV三棱锥FEBC16420.,反思与感悟 割补法是求不规则几何体体积的常用求法，解此类题时，分割与补形的原则是分割或补形后的几何体
8、是简单几何体，且体积易求.,跟踪训练4 如图，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3，则该几何体的体积为 A.5 B.6 C.20 D.10,答案,解析 用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱，如图， 则圆柱的体积为22520， 故所求几何体的体积为10.,解析,达标检测,1,2,3,4,1.已知一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的表面积与侧面积的比是,答案,5,解析 设圆柱底面半径、母线长分别为r，l， 由题意知l2r，S侧l242r2. S表S侧2r242r22r22r2(21)，,解析,答案,1,2,3,4,5,解析 设圆锥的底面半
9、径为r，母线长为l，,解析,3.已知某正三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积为,底面三角形的高为3，设底面正三角形的边长为a，,解析,答案,1,2,3,4,5,4.若圆台的高是12，母线长为13，两底面半径之比为83，则该圆台的表面积为_.,解析,1,2,3,4,5,答案,216,rR38， r3，R8. S侧(Rr)l(38)13143， 则表面积为1433282216.,解析 设圆台上底与下底的半径分别为r，R，,5.如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E为线段B1C上的一点，则三棱锥ADED1的体积为_.,1,2,3,4,5,解析,答案,解析,1.多面体的表面积为围
10、成多面体的各个面的面积之和. 2.有关旋转体的表面积的计算要充分利用其轴截面，就是说将已知条件尽量归结到轴截面中求解.而对于圆台有时需要将它还原成圆锥，再借助相似的相关知识求解. 3.S圆柱表2r(rl)；S圆锥表r(rl)；S圆台表(r2rlRlR2). 4.对柱体、锥体、台体的体积公式的四点说明 (1)等底、等高的两个柱体的体积相同. (2)等底、等高的圆锥和圆柱的体积之间的关系可以通过实验得出，等底、等高的圆柱的体积是圆锥的体积的3倍.,规律与方法,(3)柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系(4)求台体的体积转化为求锥体的体积.根据台体的定义进行“补形”，还原为锥体，采用“大锥体”减去“小锥体”的方法求台体的体积.,