1、3.2.2 函数模型的应用实例,第三章 3.2 函数模型及其应用,学习目标 1.能利用已知函数模型求解实际问题. 2.能自建确定性函数模型解决实际问题. 3.了解建立拟合函数模型的步骤，并了解检验和调整的必要性.,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,问题导学,思考,知识点一 几类已知函数模型,指数型函数与指数函数在解析式上有什么不同？,答案,答案 指数函数yax(a0，a1)的系数为1，且没有常数项.确定一个指数函数解析式只需要一个条件；指数型函数模型f(x)baxc(a，b，c为常数，b0，a0且a1)指数式前的系数不一定是1，而且可能还有常数项.所以确定指数型函数通常需要3个条件.,几
2、类函数模型：,梳理,思考,知识点二 自建函数模型,数据拟合时，得到的函数为什么要检验？,答案,答案 因为限于我们的认识水平和一些未知因素的影响，现实可能与我们所估计的函数有误差或甚至不切合客观实际，此时就要检验，调整模型或改选其他函数模型.,梳理,面临实际问题，建立函数模型的步骤： (1)收集数据； (2)画散点图； (3)选择函数模型； (4)求函数模型； (5)检验； (6)用函数模型解释实际问题.,题型探究,例1 某列火车从北京西站开往石家庄，全程277 km.火车出发10 min开出13 km后，以120 km/h的速度匀速行驶.试写出火车行驶的总路程S与匀速行驶的时间t之间的关系，并
3、求火车离开北京2 h内行驶的路程.,解答,类型一 利用已知函数模型求解实际问题,因为火车匀速行驶t h所行驶的路程为120t，,在实际问题中，有很多问题的两变量之间的关系是已知函数模型，这时可借助待定系数法求出函数解析式.再根据解题需要研究函数性质.,反思与感悟,跟踪训练1 如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米.则水位下降1米后，水面宽_米.,答案,解析,解析 以拱顶为原点，过原点与水面平行的直线为x轴，建立平面直角坐标系(如图)， 则水面和拱桥交点A(2，2)， 设抛物线所对应的函数关系式为yax2(a0)，,命题角度1 非分段函数模型 例2 某化工厂引进一条先进生产
4、线生产某种化工产品，其生产的总成本y(万元)与年产量x(吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y 48x8 000，已知此生产线年产量最大为210吨.若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？,类型二 自建确定性函数模型解决实际问题,解答,解 设可获得总利润为R(x)万元，,R(x)在0,210上是增函数，x210时，,年产量为210吨时，可获得最大利润1 660万元.,自建模型时主要抓住四个关键：“求什么，设什么，列什么，限制什么”. 求什么就是弄清楚要解决什么问题，完成什么任务. 设什么就是弄清楚这个问题有哪些因素，谁是核心因素，通常设核心因素
5、为自变量. 列什么就是把问题已知条件用所设变量表示出来，可以是方程、函数、不等式等. 限制什么主要是指自变量所应满足的限制条件，在实际问题中，除了要使函数式有意义外，还要考虑变量的实际含义，如人不能是半个等.,反思与感悟,解答,由此可知，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入分别为0.75万元和2.25万元，共获得利润1.05万元.,解 设对甲种商品投资x万元， 则对乙种商品投资(3x)万元，总利润为y万元.,命题角度2 分段函数模型 例3 某旅游点有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元.根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超过6元，
6、则每提高1元，租不出去的自行车就增加3辆. 旅游点规定：每辆自行车的日租金不低于3元并且不超过20元，每辆自行车的日租金x元只取整数，用y表示出租所有自行车的日净收入.(日净收入即一日中出租的所有自行车的总收入减去管理费用后的所得) (1)求函数yf(x)的解析式；,解答,解 当x6时，y50x115，令50x1150，解得x2.3. 又因为xN，所以3x6，且xN. 当6x20，且xN时， y503(x6)x1153x268x115， 综上可知,所以当x11时，ymax270元. 综上所述，当每辆自行车日租金定为11元时才能使日净收入最多，为270元.,(2)试问日净收入最多时每辆自行车的日
7、租金应定为多少元？日净收入最多为多少元？,解答,解 当3x6，且xN时，因为y50x115是增函数， 所以当x6时，ymax185元. 当6x20，且xN时，,自变量x按取值不同，依不同的对应关系对应因变量y是分段函数的典例特征，建立分段函数模型应注意： (1)分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏. (2)分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集. (3)分段函数的值域求法为：逐段求函数值的范围，最后比较再下结论.,反思与感悟,跟踪训练3 学校某研究性学习小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其在40 min的一节课中，注意力指数y与听课时间x(单位：min)之间的关系满
8、足如图的图象.当x(0,12时，图象是二次函数图象的一部分，其中顶点A(10,80)，过点B(12,78)； 当x12,40时，图象是线段BC，其中C(40,50).根 据专家研究，当注意力指数大于62时，学习效果 最佳. (1)试求yf(x)的函数关系式；,解答,当x12,40时，设f(x)kxb(k0). 因为线段BC过点B(12,78)，C(40,50)，将它们的坐标分别代入上式，,解 当x(0,12时，设f(x)a(x10)280(a0).,所以f(x)x90.,解得4x12或12x28， 即4x28. 故老师应在x(4,28)时段内安排核心内容，能使得学生学习效果最佳.,(2)教师在
9、什么时段内安排核心内容，能使得学生学习效果最佳？请说明理由.,解答,当堂训练,1.从2013年起，在20年内某海滨城市力争使全市工农业生产总产值翻两番，如果每年的增长率是8%，则达到翻两番目标的最少年数为 A.17 B.18 C.19 D.20,答案,2,3,4,1,5,2.一辆汽车在某段路程中的行驶路程s关于时间t变化的图象如图所示，那么图象所对应的函数模型是 A.分段函数 B.二次函数 C.指数函数 D.对数函数,答案,2,3,4,1,5,3.若镭经过100年后剩留原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x年后剩留量为y，则x，y的函数关系是,答案,2,3,4,1,5,4.某种植物生长发
10、育的数量y与时间x的关系如下表：则下面的函数关系式中，拟合效果最好的是 A.y2x1 B.yx21 C.y2x1 D.y1.5x22.5x2,答案,2,3,1,4,5,5.某同学最近5年内的学习费用y(千元)与时间x(年)的关系如图所示，则可选择的模拟函数模型是 A.yaxb B.yax2bxc C.yaexb D.yaln xb,答案,2,3,4,1,5,规律与方法,解函数应用问题的步骤(四步八字) (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型； (2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型； (3)求模：求解数学模型，得出数学结论； (4)还原：将数学问题还原为实际问题.,本课结束,