1、3.1.2 用二分法求方程的近似解,第三章 3.1 函数与方程,学习目标 1.理解二分法的原理及其适用条件. 2.掌握二分法的实施步骤. 3.体会二分法中蕴含的逐步逼近与程序化思想.,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,问题导学,答案 取区间(1,2)的中点1.5. 计算f(1.5)的值，用计算器算得f(1.5)0.018. 因为f(1.5)f(2)0， 所以零点在区间(1.5,2)内.,思考,知识点一 二分法的原理,我们已经知道f(x)ex3x的零点在区间(1,2)内，如何缩小零点所在区间(1,2)的范围？,答案,二分法的概念： 对于在区间a，b上连续不断且 的函数yf(x)，通过不断地
2、把函数f(x)的零点所在的区间 ，使区间的两个端点 ，进而得到零点近似值的方法叫做二分法. 由函数的零点与相应方程根的关系，可用二分法来求方程的近似解.,梳理,一分为二,f(a)f(b)0,逐步逼近零点,知识点二 用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤,给定精确度，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤： (1)确定区间a，b，验证 ，给定精确度； (2)求区间(a，b)的中点c； (3)计算f(c)； 若f(c)0，则c就是函数的零点； 若f(a)f(c)0，则令bc(此时零点x0 )； 若f(c)f(b)0，则令ac(此时零点x0 ).,(a，c),f(a)f(b)0,(c，b),(4)判
3、断是否达到精确度：即若|ab|，则得到零点近似值a(或b)；否则重复(2)(4). 以上步骤可简化为：定区间，找中点，中值计算两边看；同号去，异号算，零点落在异号间；周而复始怎么办？精确度上来判断.,题型探究,例1 用二分法求函数f(x)x33的一个零点(精确度0.02).,类型一 二分法的操作,解答,解 由于f(0)30，f(1)20，f(2)50， 故可取区间(1,2)作为计算的初始区间. 用二分法逐次计算，列表如下：,因为|1.453 1251.437 5|0.015 6250.02， 所以函数f(x)x33的零点的近似值可取为1.437 5.,引申探究 如何求 的近似值(精确度0.01
4、)?,解答,由f(1)10，故可以取区间(1,2)为计算的初始区间. 用二分法逐次计算，列表如下：,由于1.265 6251.257 812 50.007 812 50.01，,用二分法求函数零点的近似值关键有两点：一是初始区间的选取，符合条件(包括零点)，又要使其长度尽量小；二是进行精确度的判断，以决定是停止计算还是继续计算.,反思与感悟,跟踪训练1 借助计算器或计算机用二分法求方程2x3x7的近似解(精确度0.1).,解答,解 原方程即2x3x70，令f(x)2x3x7， 用计算器或计算机作出函数f(x)2x3x7的对应值表与图象如下：,观察图或表可知f(1)f(2)0，说明这个函数在区间
5、(1,2)内有零点x0. 取区间(1,2)的中点x11.5，用计算器算得f(1.5)0.33. 因为f(1)f(1.5)0，所以x0(1,1.5).,再取区间(1,1.5)的中点x21.25， 用计算器算得f(1.25)0.87. 因为f(1.25)f(1.5)0， 所以x0(1.25,1.5). 同理可得，x0(1.375，1.5)，x0(1.375,1.437 5). 由于|1.3751.437 5|0.062 50.1， 所以原方程的近似解可取为1.437 5.,例2 若函数f(x)在(1,2)内有1个零点，要使零点的近似值满足精确度为0.01，则对区间(1,2)至少二等分 A.5次 B
6、.6次 C.7次 D.8次,类型二 二分法取中点的次数问题,答案,解析,解析 设对区间(1,2)至少二等分n次，初始区间长为1.,6log21007，n7. 故对区间(1,2)至少二等分7次.,反思与感悟,解析 初始区间的长度为1，精确度为0.05，,跟踪训练2 在用二分法求方程的近似解时，若初始区间的长度为1，精确度为0.05，则取中点的次数不小于_.,答案,解析,5,n5， 取中点的次数不小于5.,当堂训练,1.下列函数中，只能用二分法求其零点的是 A.yx7 B.y5x1 C.ylog3x D.y( )xx,答案,2,3,4,5,1,2.观察下列函数的图象，判断能用二分法求其零点的是,答
7、案,2,3,4,5,1,3.方程2x1x5的根所在的区间为 A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4),答案,2,3,4,5,1,答案,2,3,4,5,1,5.用二分法求函数yf(x)在区间(2,4)上的唯一零点的近似值时，验证f(2)f(4)0，取区间(2,4)的中点x1 3，计算得f(2)f(x1)0，则此时零点x0所在的区间是 A.(2,4) B.(2,3) C.(3,4) D.无法确定,2,3,4,5,1,答案,规律与方法,1.二分就是平均分成两部分.二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，直至找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点. 2.二分法求方程近似解的适用范围：在包含方程解的一个区间上，函数图象是连续的，且两端点函数值异号. 3.求函数零点的近似值时，所要求的精确度不同，得到的结果也不相同.,本课结束,