1、3.1.1 方程的根与函数的零点,第三章 3.1 函数与方程,学习目标 1.理解函数的零点、方程的根与图象交点三者之间的关系. 2.会借助零点存在性定理判断函数的零点所在的大致区间. 3.能借助函数单调性及图象判断零点个数.,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,问题导学,思考,知识点一 函数的零点概念,函数的“零点”是一个点吗？,答案,答案 不是，函数的“零点”是一个数，一个使f(x)0的实数x.实际上是函数yf(x)的图象与x轴交点的横坐标.,对于函数yf(x)，我们把使 的实数x叫做函数yf(x)的 . 方程、函数、图象之间的关系： 方程f(x)0 函数yf(x)的图象 函数yf(x)
2、.,梳理,f(x)0,零点,有实数根,与x轴有交点,有零点,思考,知识点二 零点存在性定理,答案,一般地，有函数零点存在性定理： 如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是 的一条曲线，并且有，那么，函数yf(x)在区间(a，b)内 ，即存在c(a，b)，使得 ，这个c也就是方程f(x)0的根.,梳理,连续不断,f(a)f(b)0,f(c)0,有零点,题型探究,例1 函数f(x)(lg x)2lg x的零点为_.,类型一 求函数的零点,答案,解析,解析 由(lg x)2lg x0， 得lg x(lg x1)0， lg x0或lg x1， x1或x10.,x1或x10,函数yf(x)的零点就是方程
3、f(x)0的实数根，也就是函数yf(x)的图象与x轴交点的横坐标，所以函数的零点是一个数，而不是一个点.在写函数零点时，所写的一定是一个数字，而不是一个坐标.,反思与感悟,跟踪训练1 函数f(x)(x21)(x2)2(x22x3)的零点个数是_.,答案,解析,解析 f(x)(x1)(x1)(x2)2(x3)(x1) (x1)2(x1)(x2)2(x3). 可知零点为1，2,3，共4个.,4,解析 令f(x)ex(x2)，则f(1)0.3710.由于f(1)f(2)0， 方程ex(x2)0的一个根在(1,2)内.,例2 根据表格中的数据，可以断定方程ex(x2)0(e2.72)的一个根所在的区间
4、是A.(1,0) B.(0,1) C.(1,2) D.(2,3),类型二 判断函数的零点所在的区间,答案,解析,在函数图象连续的前提下，f(a)f(b)0，能判断在区间(a，b)内有零点，但不一定只有一个；而f(a)f(b)0，却不能判断在区间(a，b)内无零点.,反思与感悟,跟踪训练2 若函数f(x)3x7ln x的零点位于区间(n，n1)(nN)内，则n_.,答案,解析,解析 函数f(x)3x7ln x在定义域上是增函数， 函数f(x)3x7ln x在区间(n，n1)上只有一个零点. f(1)37ln 140， 函数f(x)3x7ln x的零点位于区间(2,3)内， n2.,2,命题角度1
5、 判断函数零点个数 例3 求函数f(x)2xlg(x1)2的零点个数.,类型三 函数零点个数问题,解答,解 方法一 f(0)10210， f(x)在(0,1)上必定存在零点. 又显然f(x)2xlg(x1)2在(1，)上为增函数. 故函数f(x)有且只有一个零点. 方法二 在同一坐标系下作出h(x)22x和g(x)lg(x1)的草图.,由图象知g(x)lg(x1)的图象和h(x)22x的图象有且只有一个交点， 即f(x)2xlg(x1)2有且只有一个零点.,判断函数零点个数的方法主要有：(1)可以利用零点存在性定理来确定零点的存在性，然后借助函数的单调性判断零点的个数. (2)利用函数图象交点
6、的个数判定函数零点的个数.,反思与感悟,解 方法一 由于f(2)0，即f(2)f(3)0，则下列说法正确的是 A.f(x)在区间(0,1)上一定有零点，在区间(1,2)上一定没有零点 B.f(x)在区间(0,1)上一定没有零点，在区间(1,2)上一定有零点 C.f(x)在区间(0,1)上一定有零点，在区间(1,2)上可能有零点 D.f(x)在区间(0,1)上可能有零点，在区间(1,2)上一定有零点,答案,2,3,4,5,1,4.下列各图象表示的函数中没有零点的是,2,3,4,5,1,答案,5.函数f(x)x3( )x的零点有 A.0个 B.1个 C.2个 D.无数个,2,3,4,5,1,答案,规律与方法,1.方程f(x)g(x)的根是函数f(x)与g(x)的图象交点的横坐标，也是函数yf(x)g(x)的图象与x轴交点的横坐标. 2.在函数零点存在性定理中，要注意三点：(1)函数是连续的；(2)定理不可逆；(3)至少存在一个零点. 3.解决函数的零点存在性问题常用的办法有三种：(1)用定理；(2)解方程；(3)用图象. 4.函数与方程有着密切的联系，有些方程问题可以转化为函数问题求解，同样，函数问题有时化为方程问题，这正是函数与方程思想的基础.,本课结束,