1、第2课时 奇偶性的应用,第一章 1.3.2 奇偶性,学习目标 1.掌握用奇偶性求解析式的方法. 2.理解奇偶性对单调性的影响并能用以解不等式. 3.理解函数的奇偶性的推广对称性.,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,问题导学,思考,知识点一 用奇偶性求解析式,函数f(x)在区间a，b上的解析式与该区间函数图象上的点(x，y)有什么关系？,答案,答案 点(x，y)满足yf(x).,一般地，求解析式的任务就是要找到一个含有自变量因变量的等式，该等式同时满足两个条件： 定义域符合要求； 图象上任意一点均满足该式. 特别地，如果知道函数的奇偶性和一个区间a，b上的解析式，想求对称区间b，a上的解析
2、式，那么就可以设出关于原点对称区间b，a上任一点(x，y)，通过关于原点(或y轴)的对称点(x，y)(或(x，y)满足的关系式间接找到(x，y)所满足的解析式.,梳理,思考,知识点二 奇偶性与单调性,观察偶函数yx2与奇函数y 在(，0)和(0，)上的单调性，你有何猜想？,答案,答案 偶函数yx2在(，0)和(0，)上的单调性相反；奇函数y 在(，0)和(0，)上的单调性相同.,梳理,一般地，若函数f(x)为奇函数，则f(x)在关于原点对称的两个区间a，b和b，a上具有相同的单调性；若函数f(x)为偶函数，则f(x)在关于原点对称的两个区间a，b和b，a上具有相反的单调性.,思考,知识点三 奇
3、偶性的推广,对于定义域内任意x，若f(x)f(x)，则函数f(x)的图象关于(0,0)对称，那么若f(1x)f(1x)，函数f(x)的图象又有什么特点？,答案,即点(x1，f(x1)与点(x2，f(x2)关于点(1,0)对称.,一般地，对于定义域内任意x， (1)若f(ax)2bf(ax)，则f(x)图象关于点(a，b)对称.当ab0时，即为奇函数定义. (2)若f(ax)f(ax)，则f(x)图象关于直线xa对称，当a0时，即为偶函数定义.,梳理,题型探究,命题角度1 已知区间a，b上的解析式，求b，a上的解析式 例1 函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x0时，f(x)x1，求当x0时，f
4、(x)的解析式.,解答,类型一 用奇偶性求解析式,解 设x0， f(x)(x)1x1， 又函数f(x)是定义域为R的奇函数， f(x)f(x)x1， 当x0时，f(x)2xx2.求yf(x)的解析式.,解答,解 设x0，因为f(x)是奇函数， 所以f(x)f(x)2(x)(x)22xx2. 因为yf(x)是R上的奇函数，所以f(0)0.,命题角度2 已知一奇一偶两函数之和，求这两个函数的解析式 例2 设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)g(x) ，求函数f(x)，g(x)的解析式.,解答,解 f(x)是偶函数，g(x)是奇函数， f(x)f(x)，g(x)g(x)，,f(x)g(x
5、) 对定义域内任意x都成立，所以可以对x任意赋值，如xx. 因为f(x)，g(x)一奇一偶，才能把x的负号或提或消，最终得到关于f(x)，g(x)的二元方程组，从中解出f(x)和g(x).,反思与感悟,跟踪训练2 设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)g(x)x22x，求函数f(x)，g(x)的解析式.,解答,解 f(x)是偶函数，g(x)是奇函数， f(x)f(x)，g(x)g(x)， 由f(x)g(x)2xx2. 用x代替x得f(x)g(x)2x(x)2， f(x)g(x)2xx2， ()2，得f(x)x2； ()2，得g(x)2x.,命题角度1 由x的取值情况推导f(x)的取值
6、情况 例3 设f(x)是偶函数，在区间a，b上是减函数，试证f(x)在区间b，a上是增函数.,类型二 奇偶性对单调性的影响,证明,证明 设x1，x2是区间b，a上任意两个值，且有x1x2. bx1x2a，ax2x1b. f(x)在a，b上是减函数，f(x2)f(x1). f(x)为偶函数，即f(x)f(x)， f(x2)f(x2)，f(x1)f(x1). f(x2)f(x1)，即f(x1)f(x2). 函数f(x)在区间b，a上是增函数.,引申探究 区间a，b和b，a关于原点对称. (1)若f(x)为奇函数，且在a，b上有最大值M，则f(x)在b，a上有最_值_.,小,解析 设xb，a，则xa
7、，b， f(x)M且存在x0a，b，使f(x0)M. f(x)为奇函数，f(x)M，f(x)M， 且存在x0b，a，使f(x0)M. f(x)在b，a上有最小值M.,答案,解析,M,(2)若f(x)为奇函数，f(x)2在a，b上有最大值M，则f(x)2在b，a上有最_值_.,解析 由(1)知，f(x)在a，b上有最大值M2时， f(x)在b，a上有最小值M2. f(x)2在b，a上有最小值M4.,解析,小,答案,M4,与求解析式一样，证哪个区间上的单调性，设x1，x2属于哪个区间.同样，求哪个区间上的最值，也设x属于哪个区间.,反思与感悟,跟踪训练3 已知函数yf(x)是偶函数，当x0时，有f
8、(x) ，则当x4，1时，求函数f(x)的值域.,解答,因为1x10，x220，,所以f(x1)0，则x的取值范围是_.,解析 f(x)为偶函数， f(x1)f(|x1|)， 又f(2)0，f(x1)0， 即f(|x1|)f(2)， |x1|,20，)，且f(x)在0，)上单调递减. |x1|2，即2x12， x的取值范围为(1,3).,解析,(1,3),答案,若f(x)在a，b上单调递增，则x1，x2a，b时，可由f(x1)f(x2)推知x10.,解答,解 f(x)在0，)上单调递减且为奇函数， f(x)在(，)上单调递减， f(x1)f(2x3)0f(x1)f(2x3)f(2x3)x10时
9、，f(x)x1，则x0时f(x)等于 A.x1 B.x1 C.x1 D.x1,答案,2,3,4,5,1,3.若奇函数f(x)在R上是增函数，则函数yf(x)在R上是 A.单调递减的偶函数 B.单调递减的奇函数 C.单调递增的偶函数 D.单调递增的奇函数,答案,2,3,4,5,1,4.定义在R上的偶函数f(x)在0，)上是增函数，若f(a)b C.|a|b0,答案,2,3,4,5,1,5.已知对于函数f(x)x2ax定义域内任意x，有f(1x)f(1x)，则实数a等于 A.1 B.1 C.2 D.2,2,3,4,5,1,答案,1.函数的奇偶性是其相应图象特殊对称性的反映，也体现了在关于原点对称的定义域的两个区间上函数值及其性质的相互转化，这是对称思想的应用.这种对称推广，就是一般的中心对称或轴对称. 2.(1)根据奇函数的定义，如果一个奇函数在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)0.有时可以用这个结论来否定一个函数为奇函数. (2)偶函数的一个重要性质：f(|x|)f(x)，它能使自变量化归到0，)上，避免分类讨论. 3.具有奇偶性的函数的单调性的特点： (1)奇函数在a，b和b，a上具有相同的单调性. (2)偶函数在a，b和b，a上具有相反的单调性.,规律与方法,本课结束,