1、第1课时 奇偶性的概念,第一章 1.3.2 奇偶性,学习目标 1.理解函数奇偶性的定义. 2.掌握函数奇偶性的判断和证明方法. 3.会应用奇、偶函数图象的对称性解决简单问题.,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,问题导学,思考,知识点一 函数奇偶性的几何特征,下列函数图象中，关于y轴对称的有哪些？关于原点对称的呢？,答案,答案 关于y轴对称，关于原点对称.,一般地，图象关于y轴对称的函数称为 函数，图象关于原点对称的函数称为 函数.,梳理,奇,偶,思考1,知识点二 函数奇偶性的定义,为什么不直接用图象关于y轴(原点)对称来定义函数的奇偶性？,答案,答案 因为很多函数图象我们不知道，即使画出
2、来，细微之处是否对称也难以精确判断.,思考2,利用点对称来刻画图象对称有什么好处？,答案,答案 好处有两点：(1)等价：只要所有点均关于y轴(原点)对称，则图象关于y轴(原点)对称，反之亦然. (2)可操作：要判断点是否关于y轴(原点)对称，只要代入解析式验证即可，不知道函数图象也能操作.,梳理,函数奇偶性的概念： (1)偶函数：如果对于函数f(x)的定义域内 一个x，都有 ，那么函数f(x)就叫做偶函数.其实质是函数f(x)上任一点(x，f(x)关于y轴的对称点(x，f(x)也在f(x)图象上. (2)奇函数：如果对于函数f(x)的定义域内 一个x，都有 ，那么函数f(x)就叫做奇函数.其实
3、质是函数f(x)上任一点(x，f(x)关于原点的对称点(x，f(x)也在f(x)图象上.,f(x)f(x),任意,f(x)f(x),任意,思考,知识点三 奇(偶)函数的定义域特征,如果一个函数f(x)的定义域是(1,1，那么这个函数f(x)还具有奇偶性吗？,答案,答案 由函数奇偶性定义，对于定义域内任一元素x，其相反数x必须也在定义域内，才能进一步判断f(x)与f(x)的关系.而本问题中，1(1,1，1(1,1，f(1)无定义，自然也谈不上是否与f(1)相等了.所以该函数既非奇函数，也非偶函数.,一般地，判断函数奇偶性要注意定义域优先原则，即首先要看定义域是否关于 对称.,原点,梳理,题型探究
4、,命题角度1 已知函数解析式，证明奇偶性,证明,类型一 证明函数的奇偶性,证明 因为它的定义域为x|xR且x1， 所以对于定义域内的1，其相反数1不在定义域内，,(2)证明f(x)(x1)(x1)是偶函数；,证明,证明 函数的定义域为R，因函数f(x)(x1)(x1)x21， 又因f(x)(x)21x21f(x)， 所以函数为偶函数.,(3)证明f(x) 既是奇函数又是偶函数.,证明,证明 定义域为1,1，因为对定义域内的每一个x，都有f(x)0， 所以f(x)f(x)，,即该函数既是奇函数又是偶函数.,利用定义法判断函数是否具有奇偶性时，首先应看函数定义域是否关于原点对称，即对于定义域内的任
5、意一个x，则x也一定属于定义域.,反思与感悟,跟踪训练1 (1)证明f(x)(x2) 既非奇函数又非偶函数；,证明,证明 由 0，得定义域为2,2)，关于原点不对称，故f(x)为非奇非偶函数.,(2)证明f(x)x|x|是奇函数.,证明,证明 函数的定义域为R，因f(x)(x)|x|x|x|f(x)， 所以函数为奇函数.,命题角度2 证明分段函数的奇偶性例2 判断函数f(x) 的奇偶性.,解答,解 由题意可知f(x)的定义域为(6，11,6)， 关于原点对称， 当x(6，1时，x1,6)， 所以f(x)(x5)24(x5)24f(x)； 当x1,6)时，x(6，1， 所以f(x)(x5)24(
6、x5)24f(x). 综上可知对于任意的x(6，11,6)， 都有f(x)f(x)，,分段函数也是函数，证明奇偶性也是抓住两点： (1)定义域是否关于原点对称； (2)对于定义域内的任意x，是否都有f(x)f(x)(或f(x)，只不过对于不同的x，f(x)有不同的表达式，要逐段验证是否都有f(x)f(x)(或f(x).,反思与感悟,跟踪训练2 证明f(x) 是奇函数.,证明,证明 定义域为x|x0. 若x0， f(x)x2，f(x)x2，f(x)f(x)； 若x0，则x0.,解答,解 xf(x)0即图象上横坐标、纵坐标同号.结合图象可知，xf(x)0的解集是(2,0)(0,2).,引申探究 把
7、例4中的“奇函数”改为“偶函数”，重做该题.,解答,解 (1)f(x)的图象如图所示：,(2)xf(x)0的解集是(，2)(0,2).,鉴于奇(偶)函数图象关于原点(y轴)对称，可以用这一特性去画图，求值，求解析式，研究单调性.,反思与感悟,跟踪训练4 已知奇函数f(x)的定义域为5,5，且在区间0,5上的图象如图所示.,解答,(1)画出在区间5,0上的图象；,解 如图，在0,5上的图象上选取5个关键点O，A，B，C，D. 分别描出它们关于原点的对称点O，A，B，C，D， 再用光滑曲线连接即得.,(2)写出使f(x)0的x的取值集合.,解答,解 由(1)图可知，当且仅当x(2,0)(2,5)时
8、，f(x)0. 使f(x)0的x的取值集合为(2,0)(2,5).,命题角度2 利用函数奇偶性的定义求值 例5 若函数f(x)ax2bx3ab是偶函数，定义域为a1,2a，则a_，b_.,答案,解析,解析 因为偶函数的定义域关于原点对称，所以a12a，,0,又f(x)为偶函数，,函数奇偶性的定义有两处常用：定义域关于原点对称；对定义域内任意x，恒有f(x)f(x)(或f(x)成立，常用这一特点得一个恒成立的等式，或对其中的x进行赋值.,反思与感悟,答案,解析,0,当a1，b1时，经检验知f(x)为奇函数，故ab0.,当堂训练,1.下列函数为偶函数的是 A.f(x)x1 B.f(x)x2x C.
9、f(x)2x2x D.f(x)2x2x,答案,2,3,4,5,1,解析,解析 D中，f(x)2x2xf(x)， f(x)为偶函数.,2.函数f(x)x(1x1)的奇偶性是 A.奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数 D.既是奇函数又是偶函数,答案,2,3,4,5,1,3.已知函数yf(x)x是偶函数，且f(2)1，则f(2)等于 A.1 B.1 C.5 D.5,答案,2,3,4,5,1,解析,解析 函数yf(x)x是偶函数，x2时函数值相等. f(2)2f(2)2，f(2)5，故选D.,4.若函数f(x)(m1)x2(m2)x(m27m12)为偶函数，则m的值是 A.1 B.2 C.3 D.4,
10、答案,2,3,4,5,1,5.下列说法错误的个数是 图象关于原点对称的函数是奇函数； 图象关于y轴对称的函数是偶函数； 奇函数的图象一定过原点； 偶函数的图象一定与y轴相交； 既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f(x)0(xR). A.4 B.3 C.2 D.0,2,3,4,5,1,答案,规律与方法,1.两个定义：对于f(x)定义域内的任意一个x，如果都有f(x)f(x) f(x)f(x)0f(x)为奇函数；如果都有f(x)f(x)f(x)f(x)0f(x)为偶函数. 2.两个性质：函数为奇函数它的图象关于原点对称；函数为偶函数它的图象关于y轴对称. 3.证明一个函数是奇函数，必须对f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x).而证明一个函数不是奇函数，只要能举出一个反例就可以了.,本课结束,