1、第2课时 分段函数及映射,第一章 1.2.2 函数的表示法,学习目标 1.会用解析法及图象法表示分段函数. 2.给出分段函数，能研究有关性质. 3.了解映射的概念.,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,问题导学,思考,知识点一 分段函数,设集合AR，B0，).对于A中任一元素x，规定：若x0，则对应B中的yx；若x0，则对应B中的yx.按函数定义，这一对算不算函数？,答案,答案 算函数.因为从整体来看，A中任一元素x，在B中都有唯一确定的y与之对应.,(1)一般地，分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的 的函数. (2)分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各
2、段函数的定义域、值域的 ；各段函数的定义域的交集是 . (3)作分段函数图象时，应分别作出每一段的图象.,对应关系,梳理,并集,空集,思考,知识点二 映射,设A三角形，BR，对应关系f：每个三角形对应它的周长.这个对应是不是函数？它与函数有何共同点？,答案,答案 因为A不是非空数集，故该对应不是函数.但满足“A中任一元素，在B中有唯一确定的元素与之对应”.,映射的概念 设A，B是两个非空的 ，如果按某一个确定的 f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中 确定的元素y与之对应，那么就称对应f：AB为从集合A到集合B的 . 函数一定是映射，映射不一定是函数.,集合,梳理,对应关系,都有唯一,
3、一个映射,题型探究,例1 如图所示，已知底角为45的等腰梯形ABCD，底边BC长为7 cm，腰长为2 cm，当垂直于底边BC(垂足为F)的直线l从左至右移动(与梯形ABCD有公共点)时，直线l把梯形分成两部分，令BFx，试写出左边部分的面积y关于x的函数解析式，并画出大致图象.,解答,类型一 建立分段函数模型,解 过点A，D分别作AGBC，DHBC，垂足分别是G，H. 因为四边形ABCD是等腰梯形，底角为45， AB2 cm， 所以BGAGDHHC2 cm， 又BC7 cm，所以ADGH3 cm.,(3)当点F在HC上，即x(5,7时，,图象如图所示：,当目标在不同区间有不同的解析表达方式时，
4、往往需要用分段函数模型来表示两变量间的对应关系，而分段函数图象也需要分段画.,反思与感悟,跟踪训练1 某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定： (1)5公里以内(含5公里)，票价2元； (2)5公里以上，每增加5公里，票价增加1元(不足5公里按照5公里计算). 如果某条线路的总里程为20公里，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象.,解答,解 设票价为y元，里程为x公里，定义域为(0,20.,函数图象如图所示：,命题角度1 给x求y,类型二 研究分段函数的性质,解答,解 5(，2，f(5)514.,引申探究 例2中f(x)解析式不变，若x5，求f(x)的取值范围.,
5、解答,解 当5x2时，f(x)x14，1； 当2x4， 所以f(5)523. 因为30， 所以f(f(5)f(3)341. 因为018.,解答,已知函数值求变量x取值的步骤： (1)先对x的取值范围分类讨论； (2)然后代入到不同的解析式中； (3)通过解方程求出x的解； (4)检验所求的值是否在所讨论的区间内； (5)若解不等式，应把所求x的范围与所讨论区间求交集，再把各区间内的符合要求的x的值并起来.,反思与感悟,(1)画出f(x)的图象；,解 利用描点法，作出f(x)的图象，如图所示.,解答,解答,(3)求f(x)的值域.,解答,解 由图象知，当1x1时，f(x)x2的值域为0,1， 当
6、x1或x1时，f(x)1. 所以f(x)的值域为0,1.,解 按照建立平面直角坐标系的方法可知，平面直角坐标系中的任意一个点，都有唯一的一个实数对与之对应，所以这个对应f：AB是从集合A到集合B的一个映射.,例4 以下给出的对应是不是从集合A到集合B的映射？ (1)集合AP|P是数轴上的点，集合BR，对应关系f：数轴上的点与它所代表的实数对应；,类型三 映射的概念,解答,解 按照建立数轴的方法可知，数轴上的任意一个点，都有唯一的实数与之对应，所以这个对应f：AB是从集合A到集合B的一个映射.,(2)集合AP|P是平面直角坐标系中的点，集合B(x，y)|xR，yR，对应关系f：平面直角坐标系中的
7、点与它的坐标对应；,(3)集合Ax|x是三角形，集合Bx|x是圆，对应关系f：每一个三角形都对应它的内切圆；,解答,解 由于每一个三角形只有一个内切圆与之对应，所以这个对应f：AB是从集合A到集合B的一个映射.,(4)集合Ax|x是新华中学的班级，集合Bx|x是新华中学的学生，对应关系f：每一个班级都对应班里的学生.,解 新华中学的每一个班级里的学生都不止一个，即与一个班级对应的学生不止一个，所以这个对应f：AB不是从集合A到集合B的一个映射.,映射是一种特殊的对应，它具有： (1)方向性：一般地从A到B的映射与从B到A的映射是不同的； (2)唯一性：集合A中的任意一个元素在集合B中都有唯一的
8、元素与之对应，可以是：一对一，多对一，但不能一对多.,反思与感悟,跟踪训练4 设集合Ax|1x2，By|1y4，则下述对应关系f中，不能构成从A到B的映射的是 A.f：xyx2 B.f：xy3x2 C.f：xyx4 D.f：xy4x2,解析 对于D，当x2时，由对应关系y4x2得y0，在集合B中没有元素与之对应，所以D选项不能构成从A到B的映射.,答案,解析,当堂训练,1.如图中所示的对应：其中构成映射的个数为 A.3 B.4 C.5 D.6,答案,2,3,4,5,1,2.f(x)的图象如图所示，其中0x1时是一段顶点在坐标原点的抛物线，则f(x)的解析式是,答案,2,3,4,5,1,A.1
9、B.0 C.2 D.1,答案,2,3,4,5,1,答案,2,3,4,5,1,A.1 B.0 C.1 D.,答案,2,3,4,5,1,1.对分段函数的理解 (1)分段函数是一个函数而非几个函数. 分段函数的定义域是各段上“定义域”的并集，其值域是各段上“值域”的并集. (2)分段函数的图象应分段来作，特别注意各段的自变量取值区间端点处函数的取值情况，以决定这些点的虚实情况. 2.函数与映射的关系 映射f：AB，其中A、B是两个非空的集合；而函数yf(x)，xA，A为非空的数集，其值域也是数集.于是，函数是数集到数集的映射. 由此可知，映射是函数的推广，函数是一种特殊的映射.,规律与方法,本课结束,