1、一轮单元训练金卷高三数学卷（B）第 十 八 单 元 圆 锥 曲 线注 意 事 项 ：1 答 题 前 ， 先 将 自 己 的 姓 名 、 准 考 证 号 填 写 在 试 题 卷 和 答 题 卡 上 ， 并 将 准 考 证 号 条 形 码 粘贴 在 答 题 卡 上 的 指 定 位 置 。2 选 择 题 的 作 答 ： 每 小 题 选 出 答 案 后 ， 用 2B 铅 笔 把 答 题 卡 上 对 应 题 目 的 答 案 标 号 涂 黑 ，写 在 试 题 卷 、 草 稿 纸 和 答 题 卡 上 的 非 答 题 区 域 均 无 效 。3 非 选 择 题 的 作 答 ： 用 签 字 笔 直 接 答 在 答
2、 题 卡 上 对 应 的 答 题 区 域 内 。 写 在 试 题 卷 、 草 稿 纸和 答 题 卡 上 的 非 答 题 区 域 均 无 效 。4 考 试 结 束 后 ， 请 将 本 试 题 卷 和 答 题 卡 一 并 上 交 。一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1抛物线 2axy的准线方程是 2y，则 a（ ）A 8B 18C8 D 8 2已知点 (3,0)M，椭圆24xy与直线 (3)ykx交于点 A、 B，则 M 的周长为（ ）A4 B8 C12 D163当 65m时，曲线 161022myx与曲线 1952
3、2myx的（ ）A焦距相等 B离心率相等 C焦点相同 D渐近线相同4与双曲线 1692yx有共同渐近线，且经过点 3,2的双曲线的虚轴的长为（ ）A 2B3 C2 D4 5已知两圆 1C： 169)4(2yx， ： 9)4(2yx，动圆和圆 1C内切，和圆 2外切，则动圆圆心 M的轨迹方程为（ ）A 4862yxB 6482C 16482D 4862yx6设 1F、 2为曲线 1C：216xy的焦点， P是曲线 2C： 213xy与 C的一个交点，则P的面积为（ ）A 4B1 C 2D 27已知椭圆的中心在原点，轴上的一个焦点 F与短轴的两个端点 1B， 2的连线互相垂直，且这个焦点与较近的长
4、轴的一个端点 A的距离为 105，则这个椭圆的方程为（ ）A2150xyB2105xyC2D2或20xy8若以双曲线21(0,)xyab的左焦点为圆心，以左焦点到右顶点的距离为半径的圆的方程为 245，则该双曲线的方程为（ ）A2134xyB213xyC213yxD214yx9已知抛物线 20p上有一点 (4,)M，它到焦点 F的距离为 5，则 OFM 的面积( O为原点)为（ ）A1 B 2C2 D 210已知 F为椭圆 C的一个焦点， 是短轴的一个端点，线段 BF的延长线交椭圆 C于点 D，且2BD，则椭圆的离心率为（ ）A 13B 3C 3D 3211已知 P为抛物线 24yx上一个动点
5、， Q为圆 22(4)1xy上一个动点，那么点 P到点 Q的距离与点 P到抛物线的准线距离之和的最小值是（ ）A 251B 25C 17D 17212设直线 l： 0yx与椭圆 42yx的交点为 A、 B，点 P是椭圆上的动点，则使PAB面积为 3的点 P的个数为（ ）A1 B2 C3 D4 二、填空题（本大题有 4 小题，每小题 5 分，共 20 分请把答案填在题中横线上）13已知过双曲线 )0,(12bayx右焦点且倾斜角为 450 的直线与双曲线右支有两个交点，则双曲线的离心率 e的取值范围是 14椭圆2194xy的焦点为 1F， 2，点 P为椭圆上的动点，当 12FP为钝角时，点 P的
6、横坐标的取值范围是 15若椭圆2xyab的焦点在 x轴上，过点 1,2作圆 2xy的切线，切点分别为 A、 B，直线 AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是 16抛物线 2xy上两点 ),(1yA、 ),(2yB关于直线 yxm对称，且 211x，则 m等于 三、解答题（本大题有 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17 （10 分） （1）已知点 A， B的坐标为 1,0， ,，直线 PA， B相交于点 P，且它们的斜率之积是 9，求动点的轨迹方程；（2）已知定点 F的坐标为 0,2， P为动点，若以线段 F为直径的圆恒与 x轴相切，求动点 的轨迹方程18
7、（12 分）如图，过抛物线 2(0)ypx的焦点 F作倾斜角为 4的直线，交抛物线于 A， B两点， A点在 x轴的上方，求 AFB的值19 （12 分）已知双曲线的中心在原点，焦点在 x轴上，双曲线的两个顶点和虚轴的一个端点构成的三角形为等腰直角三角形，且双曲线过点 (4,10)P；（1）求双曲线的方程；（2）设 1F， 2为双曲线的焦点，若点 (3,)Mm在双曲线上，求证 120MF20 （12 分）如图，过椭圆21(0)xyab的左焦点 1F作 x轴的垂线交椭圆于点 P，点 A和点B分别为椭圆的右顶点和上顶点， OPAB （1）求椭圆的离心率 e；（2）过右焦点 2F作一条弦 QR，使
8、，若 1FQR 的面积为 203，求椭圆的方程21 （12 分）已知椭圆21(0)xyab的离心率为 2，右焦点 F到上顶点的距离为 2，点 (,0)Cm是线段 OF上的一个动点；（1）求椭圆的方程；（2）是否存在过点 且与 x轴不垂直的直线 l与椭圆交于 A， B两点，使得 ()CAB，并说明理由22 （12 分）已知椭圆21(0,)xyab的一个焦点与抛物线 xy342的焦点 F重合，且椭圆短轴的两个端点与 F构成正三角形（1）求椭圆的方程；（2）若过点 )0,(的直线 l与椭圆交与不同两点 P、 Q，试问在 x轴上是否存在定点 (,0)Em，使 QEP恒为定值?若存在，求出 E的坐标及定
9、值；若不存在，请说明理由一轮单元训练金卷高三数学卷答案（B）第 十 八 单 元 圆 锥 曲 线一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1 【答案】B【解析】抛物线 2axy化为标准方程为 yax12，准线方程是 ay41， 241a， 81，故选 B2 【答案】B【解析】椭圆的焦点为 (3,0)M， (3,0)，直线 (3)ykx过 (,0)M， A 的周长为 48a，故选 B3 【答案】A【解析】当 65m时，曲线 161022myx为焦点在 x轴上的椭圆， 210()4c，曲线 9522为焦点在 y轴上的双曲线，
10、295m，焦距相等，故选 A4 【答案】D【解析】因为与双曲线 1692yx有共同渐近线，可设所求双曲线的方程为 2，把点 )32,(代入得 41，双曲线的方程为 41692yx，整理得 149yx， 42b， ，虚轴的长为 ，故选 D5 【答案】D【解析】设动圆 M的半径为 r，则 rC13， rM32， 1621MC， 的轨迹是以 1C、 2为焦点的椭圆，且 6a， 8c，动圆圆心 的轨迹方程为 14862yx，故选 D6 【答案】C【解析】不妨设 P为第一象限的点，由2163xy，解得 2y， 124Fc， 12F 的面积为 24，故选 C7 【答案】C【解析】由题意可知，椭圆的标准方程
11、为21(0)xyab，由椭圆的对称性知， 12BF，又 12BF， 12BF 为等腰直角三角形，故 O，即 bc， 105FA， 05ac，联立 22105bca，解得 a， ，椭圆的方程为2105xy，故选 C8 【答案】C【解析】圆 2450xy即为， 22()3xy，圆心为 (2,0)F，半径 3r，由题设知， (,)F为双曲线的左焦点， c，又左焦点到右顶点的距离为圆的半径， 3ac，则 1a， 23b，则该双曲线的方程为213yx，故选 C9 【答案】C【解析】抛物线的准线方程为 2px，由于 (4,)My到焦点 F的距离为 5，故有 452p， 2p， 1OF，抛物线的方程为 yx
12、，则 ,， 2OMS ，故选 C10 【答案】B【解析】不妨设椭圆 C的焦点在 x轴上，标准方程为21(0)yab，如图，则 (0,)b， (,)Fc，设 0(,)Dy，则 (,)BFcb， 0,Dxcy， 2BD， 02()xy，即032xy，点 0(,)y在椭圆上，2231cba，即 23ac，21， 3cea，故选 B11 【答案】C【解析】由题设知，抛物线的焦点为 (1,0)F，由抛物线的定义得，点 P到点 Q的距离与点 P到抛物线的准线距离之和为： PQdP，又 22(4)1xy的圆心为 (0,4)M，结合图形知， F的最小值为： min7Fr，故选 C12 【答案】D【解析】直线
13、l经过椭圆的两个顶点 )0,1(和 2,，故 5AB，要使 PAB 的面积为 31，即 3152h，则 52，联立 xy与椭圆方程得 04822mx，令 0，解得 m，平移直线 l到 2时与椭圆相切，它们与 l的距离 52d，均大于 53，满足条件的点 P有 4个，故选 D二、填空题（本大题有 4 小题，每小题 5 分，共 20 分请把答案填在题中横线上）13 【答案】 )2,1(【解析】渐近线的方程为 byxa， tan45，平方得到：21ba，21c， 2e， 12e14 【答案】 35,【解析】由题设知， a， 2b， 5c，以原点为圆心， 5c为半径作圆，圆的方程为 25xy，则 12
14、F为圆 O的直径，当 P在圆内时， 12FP为钝角，由 2945xy消去 2y得， 35x，结合图形可知， 35，即点 P的横坐标的取值范围是 35,15 【答案】2154xy【解析】当斜率存在时，设过点 1,2的直线方程为： 1()2ykx，根据直线与圆相切，圆心 0（ ， ） 到直线的距离等于半径 1可以得到， 34，直线与圆方程的联立可以得到切点的坐标 34,5；当斜率不存在时，直线方程为： 1x，根据两点 (1,0)A， 34,5B，可以得到直线： 20xy，则与 y轴的交点即为上顶点坐标 )0,(， b，与 轴的交点即为焦点， 1c，则 2abc，椭圆方程为2154xy16 【答案】
15、 3【解析】 21ABykx，又 2211()yx， 21x，由于 21x,在直线 xm上，即 ym， 2121yxm， 1y， 2x， 2121()x，即 21()x， 2x， 21， 3， 三、解答题（本大题有 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17 【答案】 （1） 291xyx；（2） 28xy【解析】 （1）设动点 ,P，因为直线 PA， B的斜率之积是 19，所以 19yxx，整理得 291xyx，所以动点 P的轨迹方程为 21y（2）设动点 ,xy，线段 PF的中点为 2,xyM，圆 与 x轴相切于 Q，连接 FQ， ， M，所以 Q， 轴，因为 为直
16、角三角形斜边上的中线，所以 2FQ，由 22xyy，化简得 28xy，所以动点 P的轨迹方程为 28xy18 【答案】 3【解析】过点 BA,分别作 1， B垂直于 x轴，垂足分别为 1A， B，直线 的倾斜角为 4，且过焦点 (,0)2pF，直线 的方程为 yx；联立2ypx得， 220p，解得， (1)y， A点在 x轴的上方， (12)Ayp， (12)Byp， 11FB: ， 13()ABF19 【答案】 （1）216xy；（2）见解析【解析】 （1）设双曲线的方程为 )0,(12bayx，双曲线的两个顶点和虚轴的一个端点构成的三角形为等腰直角三角形， ab，又双曲线过点 (4,10)
17、P， 2601ab， 26ab，则双曲线的方程为26xy；（2）由（1）知， 23c， 1(3,0)F， 2(3,0)， (3,)Mm， 1MFk， 2Mmk， 12 33Fk；点 (,)m在双曲线上，2916m，则 23， 12MFk，则 12FM， 120F20 【答案】 （1） ；（2） 50xy【解析】 （1） 1(,)Fc，2,bPca， OPAB ， OPABk，2bac，解得 b， 2c，故 2e（2）由（1）知椭圆方程可化简为 xyb易求直线 QR的斜率为 ，故可设直线 的方程为： 2()yx由消去 y得 2580xb 12x， 12于是 1FQR 的面积 2121211()4
18、Scycxbxx222843()055bb， 5b因此椭圆的方程为 20xy，即21xy21 【答案】 （1）21；（2）当 2m时， 12mk，即存在这样的直线 l，当 2m时， k不存在，即不存在这样的直线 l【解析】 （1）由题意可知 22cba，又 22acb；解得， 2a， 1c，椭圆的方程为 21xy；（2）由（1）得 (,0)F， m；假设存在满足题意的直线 l，设 的方程为 (1)ykx，由21()xyk得， 22140kxk；设 1,Ax， 2,Bxy，则 121，21kx，2kyk，212 24, ,11kkCABxmyxym； ()，而 AB的方向向量为 (,)，2 22
19、40(11kkk，当 0m时， m，即存在这样的直线 l，方程为 (1)2myx；当 12时， k不存在，即不存在这样的直线 l22 【答案】 （1） 142yx；（2）当 )0,817(E时， QEP为定值 643【解析】 （1）由题意知抛物线的焦点 )0,3(F， 3c，又椭圆短轴的两个端点与 构成正三角形， 1b， 2a，所以椭圆的方程为 142yx；（2）当直线 l的斜率存在时，设其斜率为 k，则 l的方程为： )1(xky，14()xyk，消去 y并整理得 22(41)840x，设 ,1P， ),(2xQ，4821kx， 124k， 1,PEmxy， 2,QEmxy， 21211212()PEmxy2()xkx212112()12 22 28448kkm14)()(22km；若 QEP为定值，则284，解得 817，此时， 为定值 643；当直线 l的斜率不存在时，直线 l的方程为： 1x，直线 与椭圆交于点 31,2P、 1,Q，由 )0,817(E可得， 9,8E， 93,82E， 933,8264PEQ，综上所述当 )0,17(时， QEP为定值