1、一轮单元训练金卷高三数学卷（B）第 八 单 元 平 面 向 量注 意 事 项 ：1 答 题 前 ， 先 将 自 己 的 姓 名 、 准 考 证 号 填 写 在 试 题 卷 和 答 题 卡 上 ， 并 将 准 考 证 号 条 形 码 粘贴 在 答 题 卡 上 的 指 定 位 置 。2 选 择 题 的 作 答 ： 每 小 题 选 出 答 案 后 ， 用 2B 铅 笔 把 答 题 卡 上 对 应 题 目 的 答 案 标 号 涂 黑 ，写 在 试 题 卷 、 草 稿 纸 和 答 题 卡 上 的 非 答 题 区 域 均 无 效 。3 非 选 择 题 的 作 答 ： 用 签 字 笔 直 接 答 在 答 题
2、 卡 上 对 应 的 答 题 区 域 内 。 写 在 试 题 卷 、 草 稿 纸和 答 题 卡 上 的 非 答 题 区 域 均 无 效 。4 考 试 结 束 后 ， 请 将 本 试 题 卷 和 答 题 卡 一 并 上 交 。一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知向量 (3,2)a， (1,)b， (4,1)c，若 2kacba， kR，则 k（ ）A 43B 92C 613D 1362已知平面直角坐标系中， O为原点，点 (,)A， (,)B，若点 C满足 OmAnB，其中 m， nR， 1，则点 的轨迹方程为
3、（ ）A 22(1)()5xyB 3210xyC 0D 53若向量 3,1B， ,2n，且 7AC，那么 Cn的值为（ ）A 6B C 6D 6或 64如果向量与 b的夹角为 ，那么我们称 ab为向量的“向量积” ， ab的大小为sina，如果 5a， 1， 3，则 ab（ ）A3 B 4C4 D55已知向量 (1,2)， (,)b，若 a与 的夹角为锐角，则实数 的取值范围是（ ）A 5(,)3B 5(,0)(,)3C 5(,)3D 5(,)36已知向量 a， b满足： 29， 12ab，则 的取值范围是（ ）A 4,)B (,4C (4,)D 4,)7已知点 (0,O， 3)， 3向量 D
4、OB， E为线段 C上的一点，且四边形BED为等腰梯形，则向量 E等于（ ）A (2,3)B 5(2,)(,)或 C (,3)2D (2,3)(,)或8已知 i为 x轴上的单位向量，坐标平面内的点 1A， (,B， 1C，若向量BmC( 为实数)与 2Ai垂直，则实数 m（ ）A 1B 1C 2D 29设点 P是 所在平面内一点，且 ，则点 P是 ABC 的（ PB）A内心 B外心 C重心 D垂心10已知 20ab，且关于 x的方程 20xab有实根，则 a与 b的夹角的取值范围是（ ）A 0,6B ,3C 2,3D ,611已知向量 ae， 1，对任意 tR，恒有 tae，则（ ）A B C
5、 ()e D( ae12已知 、 B、 C是平面上不共线的三点， O为平面 AC内任一点，动点 P满足等式， (0)R且 ，则 的轨迹一定通过11123OPAOC 的（ ）A内心 B垂心 C重心 D B边的中点二、填空题（本大题有 4 小题，每小题 5 分，共 20 分请把答案填在题中横线上）13已知点 )2,1(A， ),3(B， )2,(C， ),3(D，则向量 AB在向量 CD上的投影为 14已知向量 ， ， 25ab，则 cos,inacos,inbcos()15已知正方形 D的边长为 1，点 E是边 上的动点，则 E的最大值为 16在 ABC 中，角 ， B， C对应的边分别为 a，
6、 b， c， 1ABC，那么 c 三、解答题（本大题有 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17 （10 分）设 a， b，满足 1ab，及 327ab（1）求 与 的夹角；（2）求 3的值18 （12 分）已知向量 a、 b两个单位向量，且 3kkab，其中 0（1）向量 、 能垂直吗？证明你的结论；（2）若 a与 b的夹角为 60，求 k的值19 （12 分）已知点 (0,3)P，点 A在 x轴上，点 B在 y轴的正半轴上，点 M满足：PAM， 2B，当点 在 轴上移动时，求动点 的轨迹方程20 （12 分）在四边形 ABCD中，已知 (6,1)， (,)BCxy
7、， (2,3)D， BCDA；（1）试求 x与 y满足的关系式；（2）若 ，求 x、 y的值及四边形 AD的面积21 （12 分）已知 A、 B、 C的坐标分别为 )0,3(A， ),(B， )sin,(coC， 3,2（1）若 C，求角 的值；（2）若 1AB，求2sinita的值22 （12 分）在直角坐标系中，已知一个圆心在坐标原点，半径为 2的圆，从这个圆上任意一点P向 y轴作垂线段 P， 为垂足（1）求线段 中点 M的轨迹 C的方程；（2）过点 )0,2(Q作直线 l与曲线 交于 A， B两点，设 N是直线 4017x上一动点，满足ONAB( 为坐标原点 )，问是否存在这样的直线 l
8、，使得四边形 OAB为矩形？若存在，求出直线 l的方程；若不存在，说明理由一 轮 单 元 训 练 金 卷 高 三 数 学 卷 答 案 （ B）第 八 单 元 平 面 向 量一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1 【答案】C【解析】 (3,2)a， (1,)b， (4,1)c， (34,2)kkac， (5,2)ba，又 kc， 52k，解得 16，故选 C2 【答案】D【解析】由平面向量基本定理知，当 OCmAnB且 1时，点 A， B，共线，点 C的轨迹为直线 AB，设 ，由两点式的直线方程得， 31yx，,xy
9、化简为 250xy，故选 D3 【答案】C【解析】 ()7(3,1),26BACBABnn，故选 C4 【答案】C【解析】 cos3ab， s5，又 为 a与 b的夹角， 4sin5， 4sin51，故选 C5 【答案】B【解析】 a与 b均不是零向量，且夹角为锐角， ()0ab，即 (1,2)(1,)0， 530，则 53，但当 时， a与 b共线且同向，不满足题设， ，综上知， 3且 ，故选 B6 【答案】D【解析】 29a， ，又 12ab， 12ab， cosabab， 123，则 4b，即 的取值范围是 4,)，故选 D7 【答案】A【解析】 (3,0)COB， )3,4(C， )3
10、,1(D如图所示，E为线段 DC上的一点，设 E点坐标为 )3,(x，由 2ODBE解得 x或 4舍去， O)3,2(，故选 A8 【答案】A【解析】由题设知， (,2)B， (4,2)C， (1,4)B， (3,2)(1,4)ABmC(3,24)m， i为 x轴上的单位向量， 10i，则 (4,)(1,06,)AC，向量 B与 2i垂直， (2)0ABmCi，即 (3,24)(6,m，化简得， 4，解得 1故选 A9 【答案】D【解析】 PABC， ，即 0PBC同理，0PBA由 C可得 0，所以 是 的垂心，故选 D10 【答案】B【解析】 2xab有实根， ， 214ab，设 a与 b的
11、夹角为 ，240=ab 0ab，214cosa，又 ， ,3，故选 B11 【答案】C【解析】 tae， 22|tae， 22，由 1e得， 10tt对任意 tR恒成立， ，则 1ae，2 24()()()aeae ，因此， (，故选 C12 【答案】C【解析】取 AB的中点 D，则 2OABD， 2(1)233OPDO， DCP、 三点共线，点 P轨迹一定通过 C 的重心，故选 C二、填空题（本大题有 4 小题，每小题 5 分，共 20 分请把答案填在题中横线上）13 【答案】 5102【解析】 (,)AB， (1,3)CD，设 AB和 CD的夹角为 ，则向量 AB在向量 CD上的投影为20
12、cos514 【答案】 3【解析】 1a， b， 222(cosababbsin)2cos()，又 5， 245，故 1co(45，即 315 【答案】 【解析】过点 E向 CD作垂线，垂足为 F，则 2cos 1DECECDFDC，当且仅当点 与点 B重合时， 取到最大值 16 【答案】 2【解析】由 1AC得， coss1bAaB， cosbAaB，由正弦定理得到， sincosicBB， inin0， i()0，k， Z，又 ， ，则 又 1cosAb，221bca， 2c， 三、解答题（本大题有 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17 【答案】 （1） ；（
13、2） 13,3ab【解析】 （1） 7平方得 22947ab， 1,23ab（2） 23961abab18 【答案】 （1）不能，见解析；（2） k【解析】 （1） 3k， 22()3()kab，即 222(3)()80kkab，由 1b得， 14 02k， 0ab向量 a与 b不能垂直（2）若 与 的夹角为 6，则 1cos602 14k，解得 k19 【答案】 2(0)xy【解析】设 ,M， ,Aa， (,)0Bb，由题设知， (,3)PAa， (,)Mxay， (,)Bxby； 0， 330a 2B， (,)(,)2xyxy；即3()xayby，解得 3ab；代入式得， 1)02xy，即
14、 24xy 03y，动点 M 的轨迹方程为 (0)20 【答案】 （1） 0xy；（2） 63xy， 16ABCDS， 2xy， 16ABCDS【解析】 （1） (,)BC， ()(4,)DA，DA，则有 24)0xyx，化简得， 20xy；（2） (6,1， (,3)BCD；又 CB，则 )()3xy，即 24150xy；联立 204150xy，解得 6x或 1；由 BDA， B知，四边形 ABCD为对角线互相垂直的梯形，当 63xy时， (0,4)C， (8,0)， 162ASBD，当 21时， (8,)A， (,4)B， ABCD21 【答案】 （1） ；（2） 5954【解析】 （1）
15、 cos3,inAC， cos,in3B，2cos3i106sA22cosin3106sinBC 由 A得 cos又 3,2， 54（2）由 1，得 cosins31，2sinco3又22sisinicos2incos1ta1，由式两分平方得 4sic9， 5si9，2sini51ta922 【答案】 （1）214yx；（2）存在， 12yx【解析】 （1）设 ),(M是所求曲线上的任意一点， ),(1yP是方程 42yx的圆上的任意一点，则 ),0(1yP，则有12xy，即 12xy，代入 ，化简得214yx，24xy所以线段 中点 M的轨迹 C的方程24x（2）当直线 l的斜率不存在时，与椭圆无交点所以设直线 l的方程为 )2(xky，与椭圆交于),(1yxA、 ),(2yB两点， N点所在直线方程为 017x，由 24ykx得 22440kxk，由 ， 23，42160即 23k， 124kx， 214kx，ONAB，即 NO，四边形 ANB为平行四边形假设存在矩形 OANB，则 0，即 120xy即 222114kxkxk，于是有 64k，得 12k，设 0,y，由 ，得20127x，即点 N在直线 17x上存在直线 l使四边形 OANB为矩形，直线 l的方程为 12yx