1、一轮单元训练金卷 高三 数学卷（A ）第 十 五 单 元 点 、 线 、 面 的 位 置 关 系注 意 事 项 ：1 答 题 前 ， 先 将 自 己 的 姓 名 、 准 考 证 号 填 写 在 试 题 卷 和 答 题 卡 上 ， 并 将 准 考 证 号 条 形 码 粘贴 在 答 题 卡 上 的 指 定 位 置 2 选 择 题 的 作 答 ： 每 小 题 选 出 答 案 后 ， 用 2B 铅 笔 把 答 题 卡 上 对 应 题 目 的 答 案 标 号 涂 黑 ，写 在 试 题 卷 、 草 稿 纸 和 答 题 卡 上 的 非 答 题 区 域 均 无 效 3 非 选 择 题 的 作 答 ： 用 签
2、字 笔 直 接 答 在 答 题 卡 上 对 应 的 答 题 区 域 内 写 在 试 题 卷 、 草稿 纸 和 答 题 卡 上 的 非 答 题 区 域 均 无 效 4 考 试 结 束 后 ， 请 将 本 试 题 卷 和 答 题 卡 一 并 上 交 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1如图，在下列四个正方体中， A， B为正方体的两个顶点， M， N， Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线 与平面 MNQ不平行的是（ ）A BC D2已知直线 l平面，直线 m 平面 ，则下列命题正确的是（ ）A若 ，则 l B
3、若 ，则 lmC若 l ，则 D若 l，则 3如图，在正方体 ABCD中， M， N分别是 B， CD中点，则异面直线 AM与DN所成的角是（ ）A 30B 45C 60D 904已知 m， n是两条不重合的直线， ， ， 是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：若 ， ，则 ； 若 ， ，则 ；若 ， n， n ，则 ；若 m， 是异面直线， m， ， n ，则 其中真命题是（ ）A和 B 和 C和 D和5如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中， AM与 BN所成角的大小为（ ）A 0B 45C 60D 906已知直线 1l、 2，平面 ， 12l ， l ，那么 2l与平面 的关系是
4、（ ）A 1l B lC l 或 lD 2l与 相交7如图，在正四棱锥 SACD中， E， M， N分别是 B， C， S的中点，动点 P在线段MN上运动时，下列四个结论： P； ； EP 面 ； E面 SAC，其中恒成立的为（ ）A B C D8已知 m， n表示两条不同直线， 表示平面，下列说法中正确的是（ ）A若 ， ，则 mnB若 m ， n ，则 mnC若 ， ，则 D若 ， ，则 9如图，正方体 1ABCD的棱长为 1， E， F是线段 1BD上的两个动点，且 2EF，则下列结论错误的是 （ ）A CBFB直线 AE、 BF所成的角为定值C E 平面 DD三棱锥 的体积为定值10如
5、图，在直四棱柱 1AC中，四边形 C为梯形， DC ， 13A，3AB， 20B，则直线 1AB与 所成的角的余弦值为（ ）A 78B 58C 38D 6811已知正方体 1ABCD的棱长为 1， E， F分别为棱 1B、 C的中点， P为棱 BC上的一点，且 0Pm，则点 P到平面 A的距离为（ ）A 2B 5C 2mD 5m12如图，已知四边形 ACD是正方形， ABP ， Q ， CR ， AS 都是等边三角形，E、 F、 G、 H分别是线段 P、 S、 、 的中点，分别以 B、 、 C、 D为折痕将四个等边三角形折起，使得 、 Q、 R、 四点重合于一点 ，得到一个四棱锥对于下面四个结
6、论： EF与 GH为异面直线； 直线 EF与直线 PB所成的角为 60 平面 PBC； 平面 GH 平面 ACD；其中正确结论的个数有（ ）A0 个 B1 个 C2 个 D3 个二、填空题（本大题有 4 小题，每小题 5 分，共 20 分请把答案填在题中横线上）13已知 ， ， 是三个互不重合的平面， l是一条直线，给出下列四个命题：若 ， l，则 l ；若 l， l，则 ；若 ， ，则 ；若 m， n， m ， n ，则 其中所有正确命题的序号是_14如图所示， AB平面 CD， B，图中互相垂直的平面共有_对15正四面体 ABCD中， E， F分别为边 AB， D的中点，则异面直线 AF，
7、 CE所成角的余弦值为_16如图所示，在四棱锥 PAB， 底面 C，且底面各边都相等， M是 P上的一动点，请你补充一个条件_，使平面 M平面 P P DMB C (填写你认为是正确的条件对应的序号) 三、解答题（本大题有 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17 （10 分）如图，在四棱锥 EABCD中，平面 EAB 平面 CD，四边形 AB为矩形，EAB， M， N分别为 ， 的中点求证：（1 ）直线 平面 ；（2）直线 平面 EB18 （12 分）如图，已知四棱锥 PABCD的底面 是菱形， 60ABC， P平面 ABCD，2AB， P，点 F为 的中点（1）求
8、证：平面 AC平面 ；（2）求三棱锥 BD的体积19 （12 分）如图，在直四棱柱 1ABCD中， 1ABD， 2， 12ABC，ADBC（1）证明：平面 1平面 1；（2）比较四棱锥 AB与四棱锥 的体积的大小1DABC20 （12 分）如图所示的多面体中，底面 ABCD为正方形， GAD 为等边三角形， BF平面ABCD， 90G，点 E是线段 GC上除两端点外的一点，若点 P为线段 GD的中点（1 ）求证： AP平面 GCD；（2）求证：平面 平面 FB21 （12 分）如图，三棱锥 BACD的三条侧棱两两垂直， 2BCD， E， F， G分别是棱CD， A， 的中点（1）证明：平面 E
9、平面 ；（2）若四面体 BFG的体积为 12，且 F在平面 ABE内的正投影为 M，求线段 C的长22 （12 分）在如图如示的多面体中，平面 AEFD平面 BC，四边形 AEFD是边长为 2 的正方形， ，且 12BECF （1）若 M， N分别是 A， 中点，求证： MN 平面（2）求此多面体 D的体积一轮单元训练金卷 高三数学卷答案（ A）第 十 五 单 元 点 、 线 、 面 的 位 置 关 系一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1 【答案】A【解析】对于 B，易知 AMQ ，则直线 AB 平面 MNQ；对
10、于 C，易知 ABMQ ，则直线 平面 N；对于 D，易知 ，则直线 AB 平面 N故排除 B，C ，D，选 A2 【答案】B【解析】A 中 l与 m位置不确定， D 中 与 可能相交， C 中 m与 的位置不确定，B 正确，故选B3 【答案】D【解析】如图，平移直线 DN到 AH，则直线 与直线 AM所成角，由于点 ， H都是中点，所以 ABM ，则 B，而 90H，所以 90，即 ，应选答案 D4 【答案】A【解析】由线面角的定义可知答案中的直线 m， ，则平面 是正确的；因为答案中的两个平面 ， 也可能相交，故不正确；答案中的两个平面 m， n可以推出两个平面 ， 相交，故也不正确；对于
11、答案，可将直线 平移到到平面 内，借助异面直线平移后不相交的结论及面面平行的判定定理可知 ，是正确命题，所以应选答案 A5 【答案】D【解析】 AM与 BN为正方体两相对平面的对角线，且不平行，所以 AM与 BN所成角的大小为90，故选 D6 【答案】C【解析】在正方体 1ABCD中，取 1ABl， 2CDl，当取面 1CD为平面 时，满足 l ， l ，此时 2l；当取面 1BAC为平面 时，满足 12l ， l ，此时 l ，当直线 l、 2，平面 ， 12l ， l 时，2l与平面 的关系是 2 或 2，故选 C7 【答案】A【解析】连接 AC， BD相交于点 O，连接 EM， N在中，
12、由正四棱锥 SAC，可得 SO底面 B， SA SOBD， AC面 SBD E， M， N分别是 ， ， 的中点， E ， MN ， EN，平面 平面 SD， 平面 N， CP，故正确;在中，由异面直线的定义可知， EP和 B是异面直线，不可能 B ，因此不正确；在中，由可知，平面 平面 SD， 平面 SD，因此正确；在中，由同理可得， EM平面 SAC，若 EP平面 SAC，则 EPM ，与 EP相矛盾，因此当 P与 不重合时， 与平面 不垂直，即不正确故选 A8 【答案】A【解析】逐一考查所给的线面关系：A若 m， n，由线面垂直的定义，则 mn，B若 ， ，不一定有 n ，如图所示的正方
13、体中，若取 ， 为 B， AD，平面 为上底面 1ABCD即为反例；C若 m， n，不一定有 n ，如图所示的正方体中，若取 m， n为 1A， 1D，平面为上底面 1即为反例；D若 ， n，不一定有 n如图所示的正方体中，若取 ， n为 ， BC，平面 为上底面 1ABC即为反例；故选 A9 【答案】B【解析】在 A 中，正方体 1BCD的棱长为 1， E， F是线段 1BD上的两个动点，且 2EF， ， A， 1BD， 平面 1， 平面 1B， CF，故 A 正确；在 B 中，异面直线 AE、 BF所成的角不为定值，由图知，当 与 1重合时，令上底面顶点为 O，则此时两异面直线所成的角是
14、1AO，当 E与 1D重合时，此时点 F与 O重合，则两异面直线所成的角是 BC，此二角不相等，故异面直线 AE、 F所成的角不为定值故 B 错误；在 C 中， D ， 平面 AD， EF平面 ACD， EF 平面 ABCD，故 C 正确；在 D 中， 平面 1B， 到平面 的距离不变， 2EF， 到 EF的距离为 1， B 的面积不变，三棱锥 A的体积为定值，故 D 正确10 【答案】A【解析】如图所示，过点 C作 1EBA ，连接 1E，则 1BC就是直线 1AB与 C所成的角或其补角，由题得 123B， 3，由余弦定理得 237cos8E，故选 A11 【答案】B【解析】由 CEF 可知
15、 B 平面 AEF，则点 P到平面 AF的距离即点 B到平面 EF的距离，直线 平面 1A，则平面 平面 1B，结合平面 平面 可知原问题可转换为点 到直线 E的距离，利用面积相等可得点 P到平面 AEF的距离为：152本题选择 B 选项12 【答案】D【解析】错误所得四棱锥中，设 AS中点为 I，则 E、 I两点重合， FIGH ，即 E ，即 F与 GH不是异面直线；正确 I ， PB与 Q重合，且 与 BQ所成角为 60，说明 与 所成角为 60；正确 FIC ， 平面 PC， FI平面 PC， I 平面 PB， E 平面 B；正确 I 平面 AD， IH 平面 AD， IHI点，平面
16、FHG 平面 ，即平面 FG 平面 B，故选 D二、填空题（本大题有 4 小题，每小题 5 分，共 20 分请把答案填在题中横线上）13 【答案】【解析】若 ， l，则 l ， l；若 l， l，则 ；若 ， A，则 ；若 m， n， m ， n ，则 或 ,相交，所以正确命题的序号是14 【答案】3【解析】由 AB平面 CD，又 AB平面 C、平面 ABD，所以平面 平面 ，平面 平面 ；由 平面 可得 ，又 ，所以 平面 C，又 CD平面 A，故平面 B平面 A故答案为 315 【答案】 16【解析】取 BF中点 G，连 C， E，不妨设正四面体的棱长为 2，易求 3CE， 2， 132，
17、由余弦定理得：223146EGCcos ，异面直线 AF， 所成角的余弦值为 1616 【答案】【解析】由定理可知， BDPC，当 MPC（或 B）时，即有 PC平面 MBD，而 PC平面 ，平面 平面 D，则 或 M正确，故答案为三、解答题（本大题有 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17 【答案】 （1）见解析；（ 2）见解析【解析】证明：（1）取 BE中点 F，连结 C， MF，又 M是 A的中点，所以 12AB ，且 12AB，因为 N是矩形 D的边 的中点，所以 NC ，且 12AB所以 FC 且 N，所以四边形 是平行四边形所以 MF 又 MN平面 EB
18、， F平面 EBC，所以直线 N 平面 EBC（2）在矩形 AD中， A又平面 平面 ，平面 D平面 A ， 平面 AD，所以 BC平面 E又 A平面 ，所以 BCEA又 ， ， ， 平面 EBC，所以直线 EA平面 BC18 【答案】 （1）见解析；（ 2） 3【解析】 （1）连接 ， 与 A交于点 O，连接 F，因为 PA平面 BCD， 平面 BCD，所以 PAC，因为点 F为 的中点，所以 F 因为 O，因为 A是菱形，所以 ，因为 B，所以 平面 B，因为 AC平面 P，所以平面 PC平面 DF（2）由（1）可知 A平面 ， OA ，所以 11333PBCDBCDVOFS ，所以 2A
19、A ，所以 4323PBDFCFBDAPV19 【答案】 （1）见解析；（ 2） 11DABCABV【解析】 （1）证明： 2， D，又 A平面 BC， 1， 1， D平面 1AB又 D平面 ，平面 平面 1（2）解： AB且 ， 45D，又 C ， 45B， 2sin452BCS四边形 的面积为 12，D 11233DABCV又 1 12ABS矩 形 ， 23 11DCV20 【答案】 （1）见解析；（ 2）见解析【解析】 （1）证明：因为 GA 是等边三角形，点 P为线段 GD的中点，故 APGD因为 A， ，且 D， A， 平面 ，故 C平面 ，又 P平面 D，故 CP，又 CG， ，
20、平面 ，故 P平面 C（2）证明： BF平面 A， BF， ， ， ， 平面 ， D平面 FB，由（1）知 CD平面 ， 平面 DG 平面 C21 【答案】 （1）见解析；（ 2） 46【解析】 （1）证明：因为 BC， E是棱 的中点，所以 BECD，又三棱锥 BA的三条侧棱两两垂直，且 BC，所以 平面 D，则 ，因为 E，所以 平面 AE，又 C平面 A，所以平面 B平面 D（2）由（1）知 平面 ，因为 MF平面 B，所以 MFD ，又 为 A的中点，所以 为 AE的中点，因为 2BE， 12，所以四面体体 FG的体积为 36BGBMF，则 312在 RtA 中， 26， 238AE，
21、在 CEM 中， 18， 24CE22 【答案】 （1）见解析；（ 2） 83【解析】 （1）证明：在平面 CDF中，作 NHCF交 D于 ，连接 AH M， N是 AE， 中点，且 AE是正方形， NHDF ， 12，又 AM ， ， NHAM， ，四边形 是平行四边形， ，又 H平面 BCD， 平面 BCD， 平面 ABCD（2）解：如图，连 ， F，过 作 GEF，交 于点 G四边形 BEFC是等腰梯形， 112CGBEF， 3G平面 AD平面 ，平面 AD平面 C， FE， DF， G平面 ， 平面 1143233BCFBFVS ，AEDAEDH正 方 形，故多面体 的体积 83BCFAEDV