1、一轮单元训练金卷 高三 数学卷（A ）第 十 七 单 元 立 体 几 何 综 合注 意 事 项 ：1 答 题 前 ， 先 将 自 己 的 姓 名 、 准 考 证 号 填 写 在 试 题 卷 和 答 题 卡 上 ， 并 将 准 考 证 号 条 形 码 粘贴 在 答 题 卡 上 的 指 定 位 置 。2 选 择 题 的 作 答 ： 每 小 题 选 出 答 案 后 ， 用 2B 铅 笔 把 答 题 卡 上 对 应 题 目 的 答 案 标 号 涂 黑 ，写 在 试 题 卷 、 草 稿 纸 和 答 题 卡 上 的 非 答 题 区 域 均 无 效 。3 非 选 择 题 的 作 答 ： 用 签 字 笔 直
2、接 答 在 答 题 卡 上 对 应 的 答 题 区 域 内 。 写 在 试 题 卷 、 草 稿 纸和 答 题 卡 上 的 非 答 题 区 域 均 无 效 。4 考 试 结 束 后 ， 请 将 本 试 题 卷 和 答 题 卡 一 并 上 交 。一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1如图， 是水平放置的 的直观图，则 的面积为（ ）OAB OAB OABA6 B C12 D32 622一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的全面积和侧面积的比是（ ）A B C D1:214:12:14:3某几何体的三视图如图所示
3、，则该几何体的表面积为（ ）A180 B200 C220 D2404已知两直线 、 和平面 ，若 ， ，则直线 、 的关系一定成立的是（ ）mnmn mnA 与 是异面直线 BC 与 是相交直线 Dmn mn5已知某球的体积大小等于其表面积大小，则此球的半径是（ ）A B3 C4 D536如果一个几何体的三视图如图所示，正视图与侧视图是边长为 2 的正三角形、俯视图轮廓为正方形， （单位长度： ） ，则此几何体的体积是（ ）cmA B C D32cm34cm3cm834cm7已知直线 、 ，平面 ， ， ，那么 与平面 的关系是（ ） 1l221l l 2lA B1l lC 或 D 与 相交2
4、l 2l2l8若长方体的一个顶点上三条棱长分别为 3，4，5则长方体外接球的表面积为（ ）A B C D40350609在正四面体 中， 为 的中点，则 与 所成角的余弦值为（ ）ACDEAEBA B C D361631310已知直线 平面 ，直线 平面 ，给出下列命题：lm ； ；l lm ； ；lm l其中正确命题的序号是（ ）A B C D11将棱长为 的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为（ ）2A B C D432332612一个几何体的三视图如下图所示，则该几何体的表面积为（ ）A B C D1023103123123二、填空题（本大题有 4 小题，每小题 5 分，共 2
5、0 分请把答案填在题中横线上）13底面边长和侧棱长均为 2 的正四棱锥的体积为_14设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为 3，顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）A B C D243212315已知 、 是两条不重合的直线 ， ， 是三个两两不重合的平面给出下列四个命题：mn（1）若 ， ，则（2）若 ， ，则（3）若 ， ， ，则mnmn （4）若 ， ，则 其中正确的命题是_(填上所有正确命题的序号)16 （2017 新课标全国，文 16）已知三棱锥 的所有顶点都在球 的球面上， 是球SABCOSC的直径若平面 平面 ， ， ，三棱锥 的体积为 9，则球 的OSCABSABO表
6、面积为_三、解答题（本大题有 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17 （10 分）如图是一个以 为底面的直三棱柱被一平面所截得到的几何体，截面为 ，已1ABC ABC知 ， ， ， ， ，求：12ABC 190AB 14A 13B 12C（1）该几何体的体积；（2）截面 的面积18 （12 分）如图，四边形 是正方形， ， ， 平面 ABCDPMA DPCDM（1）求证：平面 平面 ；（2）判断直线 ， 的位置关系，并说明理由PM19 （12 分）如图，在四棱锥 中， 平面 ， ， 底面PABCDPABCDP120ADC为菱形， 为 中点， ， 分别为 ， 上一点，
7、 ，ABCDGEF4E4PBF（1）求证： ；F（2）求证： 平面 ；E B（3）求三棱锥 的体积20 （12 分）在四棱锥 中， ， ， 平面PABCD 90ACD 60BACD PA， 为 的中点， ABCDE=2（1）求证： ；（2）求证： 平面 ； PAB21 （12 分）如图，三棱柱 中， ， ， 平面 ，1ABC90ABC12BCA1ABC， 分别是 ， 的中点EF122 （12 分）如图，直三棱柱 中， 、 分别是 ， 的中点，已知 与平面1ABCDEAB11AC所成的角为 ， ， ABC45122（1）证明： 平面 ；1 D（2）求二面角 的正弦值ACE一轮单元训练金卷 高三数
8、学卷答案（ A）第 十 七 单 元 立 体 几 何 综 合一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1 【答案】C【解析】 的面积为 ，故选 COAB 16422 【答案】A【解析】所求的比为： ，故选 A213 【答案】D【解析】由三视图可知：该几何体是一个横放的直四棱柱，高为 10；其底面是一个等腰梯形，上下边分别为 2，8，高为 4 ，故选 D1284510102S表 面 积 （ ）4 【答案】B【解析】当一条直线垂直于一个平面，则此直线垂直于这个平面内的所有直线故选 B5 【答案】B【解析】 ， ，选 B324R
9、36 【答案】D【解析】由已知中的三视图可得该几何体为四棱锥，正视图与侧视图是边长为 2 的正三角形，俯视图为正方形，棱锥的底面棱长为 2，高为 ，3则棱锥的体积 ，故选 D143V237 【答案】C【解析】在正方体 中，1ABCD取 ， ，当取面 为平面 时，满足 ， ，此时 ；1ABl2CDl1CD12l l 2l当取面 为平面 时，满足 ， ，此时 2l 1l l当直线 、 ，平面 ， ， 时， 与平面 的关系是 或 ，故选 C1l212l l l 2l 2l8 【答案】C【解析】设球的半径为 ，由题意，球的直径即为长方体的体对角线的长，R则 ， ，故选 C223450R（ ） 5224
10、50SR球9 【答案】A【解析】如图，取 中点 ，连接 ， ， 为 的中点， ，ADFECFABEFDB则 为异面直线 与 所成的角， 为正四面体， ， 分别为 ，CEFBDA的中点， 设正四面体的棱长为 ，则 ， ADC2aE23aa在 中，由余弦定理得： ，故选 A223cos 6CFE10 【答案】D【解析】在中， 可在平面 内任意转动，故 与 关系不确定，故是假命题；mlm在中，由 ， ，得 ，又 ，故 ，故是真命题；l ll在中，平面 可绕 转动，故 与 关系不确定，故是假命题；在中，由 ， ，得 ，又 ，故 ，故是真命题，故选 Dlm l m11 【答案】A【解析】体积最大的球即正
11、方体的内切球，因此 ， ，体积为 ，故选 A2r14312 【答案】C【解析】由三视图可知，几何体是一个五面体，五个面中分别是：一个边长是 2 的正方形；一个边长是 2 的正三角形；两个直角梯形，上底是 1，下底是 2，高是 2；一个底边是 2，腰长是 的等5腰三角形，求出这五个图形的面积 ，故选 C2 313二、填空题（本大题有 4 小题，每小题 5 分，共 20 分请把答案填在题中横线上）13 【答案】 23【解析】设正四棱锥为 ， 为底面中心，PABCDO则高 为 ，所以体积为 PO222143314 【答案】C【解析】根据题意条件，考查所有棱的长都为 时的问题：a三棱柱是棱长都为 的正
12、三棱柱，上下底面中心连线的中点就是球心，则其外接球的半径为a，球的表面积为 ，2227sin601R 27413Sa将 代入上式可得该球的表面积为 本题选择 C 选项3a2115 【答案】 （1）【解析】 （1）根据线面垂直的性质可知若 ， ，则 成立；m（2）若 ， ，则 或 与 相交；故（2）不成立；（3）根据面面平行的可知，当 与 相交时， ，若两直线不相交时，结论不成立；n（4）若 ， ，则 或 ，故（4）不成立，故正确的是（1） ，故答案为（1） m m 16 【答案】 36【解析】三棱锥 的所有顶点都在球 的球面上， 是球 的直径，SABCOSCO若平面 平面 ， ， ，三棱锥 的
13、体积为 9，SBAB可知三角形 与三角形 都是等腰直角三角形，设球的半径为 ，r可得 ，解得 球 的表面积为： 1293r3r 2436三、解答题（本大题有 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17 【答案】 （1）6；（2） 【解析】 （1）过 作平行于 的截面 ，交 ， 分别于点 ， C1AB2C1AB2AB由直三棱柱性质及 可知 平面 ，90 2则该几何体的体积 122 12=63ABCA-BV=V -（2）在 中， ， ， 43=52=5C，则 22=4=AC 216ABS18 【答案】 （1）见解析；（2）异面，见解析【解析】 （1） 平面 ，且 平面 ，
14、，PMCDCDMPC又四边形 是正方形， ，而梯形 中 与 相交，ABAA 平面 ，又 平面 ，平面 平面 CDBBD（2）直线 ， 是异面直线，P ， 平面 ， 平面 ，BA AMDAMPD 平面 ，又 平面 ， 与 不相交，BC AMPDAMPDBC又 ， 与 不平行， 与 不平行， 与 异面 PM19 【答案】 （1）见解析；（2）见解析；（3） 63【解析】 （1）证明： 平面 ， ，PABCPA底面 为菱形， ， ， 平面 ，ABCDDCBD又 平面 ， FF（2）证明： ， ，4E4PBEPA设 与 的交点为 ，连接 ， 为菱形， 为 中点，ABOGO又 为 中点， ， ，又 平面
15、 ， 平面 ，GPCA F BDGBDG 平面 EF D（3）解:设 ， 平面 ， ， ，又mPBCDPAC42A ，又由 可得 ，23PAC120A4642BD ， ，6m ， 到平面 的距离为 ，又 的面积为4BFBCD34hPCE， 1316282ACDS1633BCEFBVSh20 【答案】 （1）见解析；（2）见解析【解析】 （1）在 中， ， ，RtB 1A 60 ， 取 中点 ，连 ， ，BC=3A PCFEF ， 2P 平面 ， 平面 ，DABD ，又 ，即 ，A90 平面 ， ， CPCPEFC 平面 EFA（2）证法一：取 中点 ，连 ， ，则 DMMPA 平面 ， 平面
16、， 平面 ，MPBPBE B在 中， ， ，RtACD 60 2ACM 而 ， 60M B B 平面 ， 平面 ， 平面 PP PA ，平面 平面 E E 平面 ， 平面 CC AB证法二：延长 、 ，设它们交于点 ，连 DNP ， ， 为 的中点60NA D 为 中点，EPEP 平面 ， 平面 ， 平面 CBNABEC PAB21 【答案】 （1）见解析；（2） 147【解析】 （1）由题知可以 为原点，分别以 ， ， 为 ， ， 轴建系如图所示1xyz则有 ， ， ， ，()0,2A(),0B()2,0C(),1E(),2F故有： ，,1CE,1AF由： 知： ，即2,0,20CAFCE（
17、2）假设平面 的法向量为 ,xyzn由 ,1 ,200xyzAEFn不妨假设 ，得 ， ，1y3xz3,n又平面 的法向量 ，所以ABC0,1m214cos, 7mn即平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为 EF14722 【答案】 （1）见解析；（2） 63【解析】 （1）证明：连接 ，交 于点 ，则 为 的中点1ACF1AC又 是 的中点，连接 ，则 ，DABDF1B因为 平面 ， 平面 ，所以 平面F111 1D（2）解：易知 ， ，则 ，得45C2A2ACBACB以 为坐标原点， 、 、 为 轴、 轴、 轴建立如图的空间坐标系 ，B1xyz xyz则 ， ， ， ， ，1,0D,21E,02,0D,21E2,0设 是平面 的法向量，则 ，即 ，11,xyzn1AC1 CAn1 xyz可取 ，同理，设 是平面 的法向量，则 ，1,2n1E210 EAn可取 ，从而 ，故2,n12123cos,26si,3即二面角 的正弦值为 1DACE63