1、第 1 页，共 13 页宁夏回族自治区中卫市 2019 届高三第一次模拟（文）数学试题一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）1. 设集合 2，3， ， 0，2， ， ，则=1, 4=1, 3=|10 |0 |0) 0.10 0.05 0.01 0.0050 2.7063.841 6.6357.879【答案】解： 将 列联表中的数据代入公式，计算得(1)22，2=100(60102010)270308020=100214.762因为 ，4.7623.841所以有 的把握认为南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异；95%这 5 名数学系学生中，2 名喜欢甜品的记为 A、B，
2、(2)其余 3 名不喜欢甜品的学生记为 c、d、e，则从这 5 名学生中任取 3 人的结果所组成的基本事件为ABc，ABd，ABe，Acd，Ace，Ade ，Bcd，Bce，Bde，cde ，共 10 种；3 人中至多有 1 人喜欢甜品的基本事件是Acd，Ace，Ade ，Bcd，Bce，Bde，cde，共 7 种；所以，至多有 1 人喜欢甜品的概率为 =710第 10 页，共 13 页【解析】 利用 列联表中的数据计算观测值 ，对照表中数据即可得出结论；(1) 22 2利用列举法求出从这 5 名学生中任取 3 人的基本事件数，计算对应的概率即可(2)本题考查了独立性检验的应用问题，也考查了利
3、用列举法求古典概型的概率问题，是基础题目19. 如图的几何体中， 平面 ACD， 平面 ACD， 为等边三角形， ，F 为 CD 的中点=2=2求证： 平面 BCE；(1) /求 A 到平面 BCE 的距离(2)【答案】 证明：取 CE 的中点 G，连接 FG、BG (1)为 CD 的中点， 且 /=12平面 ACD， 平面 ACD， ， ，/又 ， =12=四边形 GFAB 为平行四边形，则 /平面 BCE， 平面 BCE， 平面 BCE /连接 AE，设 A 到平面 BCE 的距离为 h，(2)在 中， ， ，=5 =22，=12223=6又 ， ，=3 =1212=1由 ，即 为正 的高
4、 ， =13=13( )即点 A 到平面 BCE 的距离为 =22 22【解析】 通过取 CE 的中点 G，利用三角形的中位线定理和平行四边形的性质及线(1)面平行的判定定理即可证明；利用三棱锥的体积公式计算，即可求 A 到平面 BCE 的距离(2)熟练掌握线面平行的判定定理和性质定理及棱锥的体积计算公式是解题的关键20. 已知椭圆 C 的中心在坐标原点，焦点在 x 轴上，左顶点为 A，左焦点为 ，1(2,0)点 在椭圆 C 上，直线 与椭圆 C 交于 E，F 两点，直线(2,2) =(0)AE，AF 分别与 y 轴交于点 M，N 求椭圆 C 的方程；( ) 在 x 轴上是否存在点 P，使得无
5、论非零实数 k 怎样变化，总有 为直角？( ) 若存在，求出点 P 的坐标，若不存在，请说明理由第 11 页，共 13 页【答案】解： 由题意可设椭圆方程为( )，22+22=1(0)则 ， ， ，解得： ，=2 22=242+22=1 2=82=4可得椭圆 C 的方程为 ；28+24=1 如图，设 ， ，则 ， ，( ) (0,0) (0,0)208+204=1 (22,0)AF 所在直线方程 ，=00+22(+22)取 ，得 ，=0 =2200+22，(0,2200+22)AE 所在直线方程为 ，=0022(+22)取 ，得 =0 =220022则以 MN 为直径的圆的圆心坐标为 ，(0,
6、2200820)半径 ，=40820圆的方程为 ，即 2+(2200820)2=1620(820)2=1620 2+(+200)2=1620取 ，得 =0 =2可得以 MN 为直径的圆经过定点 (2,0)可得在 x 轴上存在点 ，(2,0)使得无论非零实数 k 怎样变化，总有 为直角【解析】 由题意可设椭圆标准方程为 ，结合已知及隐含条件( )22+22=1(0)列关于 a，b，c 的方程组，求解方程组得到 ， 的值，则椭圆方程可求；2 2 设 ， ，写出 AE、AF 所在直线方程，求出 M、N 的坐标，得( ) (0,0) (0,0)到以 MN 为直径的圆的方程，由圆的方程可知以 MN 为直
7、径的圆经过定点 ，即(2,0)可判断存在点 P本题考查椭圆的方程和简单性质，考查直线与圆位置关系的应用，考查整体运算思想方法，是中档题21. 已知函数 ()=(1)(0)求函数 的单调递增区间；(1) =()设函数 ，函数 (2) ()=163()若 恒成立，求实数 a 的取值范围；()0证明： (123)20 0()=(1)+1=0解得 1函数 的单调递增区间为 =() 1,+)函数 ，函数 (2) ()=163()， 时，函数 单调递增，不成立，舍去；()= 0 ()时， ，0 ()=(+)()可得 时，函数 取得极小值即最小值，= ()，解得： ()()=12120 02(1+2+)=(
8、12)2因此 (123)20 0.()=(1)+1=0.间函数 ，函数 (2) ()=163()，对 a 分类讨论，利用 即可得出()= ()0证明：由 可得： ， 时满足： ，只有 时取等号 依次取 = 1 22 =1 .，即可证明=本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题22. 在直角坐标系 xOy 中，曲线 的参数方程为 为参数 以坐标原点为极1 =2( ).点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 的极坐标方程为2()=12()写出曲线 的普通方程和直线 的直角坐标方程；(1) 1 2若直线 与曲线 有两个不同
9、交点，求 a 的取值范围(2) 2 1【答案】解： 曲线 的普通方程为 ，(1) 1 =12(11)把 ， 代入 ，= = ()=12得直线 的直角坐标方程为 ，即 ，2 =12 +12=0由直线 ： ，知 恒过点 ，(2) 2 +12=0 2 (0,12)由 ，当时，得 ，=12(11) =1所以曲线 过点 ， ，1 (1,0)(1,0)第 13 页，共 13 页则直线 MP 的斜率为 ，1=01210=12直线 MQ 的斜率 ，2=01210=12因为直线 的斜率为 a，且直线 与曲线 有两个不同的交点，2 2 1所以 ，即 ，21 1212所以 a 的取值范围为 12,12.【解析】 利
10、用平方关系消去参数 t 可得 的普通方程，利用 ，(1) 1 =可得 的直角坐标方程；= 2根据直线的斜率可得(2)本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题23. 已知函数 ()=|+|21|当 时，求不等式 的解集；(1)=1 ()0若 ，不等式 对 都成立，求 a 的取值范围(2)0 ()0 |+1|21|可得 ，(+1+21)(+12+1)0即 ，解得 ，3(2)0 ()()由 ()=|+|21|=|+|12|12|，|+12|0=|+12|可得 的最大值为 ， ，() |+12|=+12 (0)则 ，解得 +12() ()所求范围本题考查绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题的运用，考查运算能力，属于基础题