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人教B版高中数学必修二课件:第一章 立体几何初步 章末复习

1、章末复习,第一章 立体几何初步,学习目标 1.整合知识结构,形成知识网络、深化所学知识. 2.会画几何体的直观图,并能计算几何体的表面积和体积. 3.熟练掌握线线、线面、面面间的平行与垂直关系,知识梳理,达标检测,题型探究,内容索引,知识梳理,1.空间几何体的结构特征 (1)棱柱:有两个面互相平行,其余各面都是四边形,且每相邻两个四边形的公共边互相平行. 棱锥:有一个面是多边形,其余各面是有一个公共顶点的三角形. 棱台是棱锥被平行于底面的平面所截而成的. 这三种几何体都是多面体. (2)圆柱、圆锥、圆台、球是由平面图形矩形、直角三角形、直角梯形、半圆面旋转而成的,它们都称为旋转体.在研究它们的

2、结构特征以及解决应用问题时,常需作它们的轴截面或截面.,(3)由柱、锥、台、球组成的简单组合体,研究它们的结构特征实质是将它们分解成多个基本几何体. 2.空间几何体的直观图 斜二测画法为: 主要用于水平放置的平面图形或立体图形的画法.它的主要步骤:画轴;画平行于x、y、z轴的线段分别为平行于x、y、z轴的线段;截线段:平行于x、z轴的线段的长度不变,平行于y轴的线段的长度变为原来的一半.,3.几何体的表面积和体积的有关计算 (1)常见几何体的侧面积和体积的计算公式,(2)求几何体体积常用技巧 等体积法;割补法.,4.平行关系 (1)基本性质4 平行于同一条直线的两条直线 .即如果直线ab,cb

3、,那么 . (2)直线与平面平行的判定与性质,平行,ac,不在一个平面,平行,平面内,lm,l,平行,相交,两平面的,l,交线平行,(3)平面与平面平行的判定 文字语言:如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行. 符号语言:a,b, ,a,b. 图形语言:如图所示.,abP,(4)平面与平面平行的性质定理 文字语言:如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行. 符号语言:,a, ab. 图形语言:如图所示.作用:证明两直线平行.,b,5.垂直关系 (1)直线与平面垂直的判定定理 定理:如果一条直线与平面内的 直线垂直,则这条直线与这个平面垂直. 推论:如果

4、在两条 中,有一条垂直于平面,那么另一条直线也垂直于这个平面. (2)直线与平面垂直的性质 性质1:如果一条直线垂直于一个平面,那么它就和平面内的 一条直线垂直.,两条相交,平行直线,任意,性质2:如果两条直线 ,那么这两条直线平行. (3)面面垂直的判定定理 如果一个平面过另一个平面的 ,则这两个平面互相垂直. (4)面面垂直的性质定理 如果两个平面互相垂直,那么在 垂直于 的直线垂直于另一个平面.,一条垂线,一个平面内,它们交线,垂直于同一个平面,6.共面与异面直线 (1)共面:空间中的 或 ,如果都在同一平面内,我们就说它们共面. (2)异面直线:既 又 的直线.,几个点,几条直线,不平

5、行,不相交,思考辨析 判断正误 1.菱形的直观图仍是菱形.( ) 2.简单组合体的体积等于组成它的简单几何体体积的和或差.( ) 3.夹在两平行平面的平行线段相等.( ),题型探究,例1 如图,从底面半径为2a,高为 的圆柱中,挖去一个底面半径为a且与圆柱等高的圆锥,求圆柱的表面积S1与挖去圆锥后的几何体的表面积S2之比.,类型一 空间几何体的表面积与体积,解答,反思与感悟 空间几何体的体积与表面积的计算方法 (1)等积变换法:三棱锥也称为四面体,它的每一个面都可作底面来处理,恰当地进行换底等积变换便于问题的求解. (2)割补法:像求平面图形的面积一样,割补法是求几何体体积的一个重要方法,“割

6、”就是将几何体分割成几个熟悉的柱、锥、台体或它们的组合体;“补”就是通过补形,使它转化为熟悉的几何体.总之,割补法的核心思想是将不熟悉的几何体转化为熟悉的几何体来解决.,(3)展开法:把简单几何体沿一条侧棱或母线展开成平面图形,这样便把空间问题转化为平面问题,可以有效地解决简单空间几何体的表面积问题或侧面上(球除外)两点间的距离问题. (4)构造法:当探究某些几何体性质较困难时,我们可以将它放置在我们熟悉的几何体中,如正方体等这些对称性比较好的几何体,以此来研究所求几何体的性质.,跟踪训练1 如图所示的正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a,求三棱锥A1AB1D1的高.,解 设三棱锥A1AB

7、1D1的高为h,,解答,类型二 空间中的平行问题,例2 如图,E,F,G,H分别是正方体ABCDA1B1C1D1的棱BC,CC1,C1D1,AA1的中点. 求证:(1)GE平面BB1D1D;,证明,证明 取B1D1中点O,连接GO,OB,,OBGE. OB平面BB1D1D,GE平面BB1D1D, GE平面BB1D1D.,(2)平面BDF平面B1D1H.,证明 由正方体性质得B1D1BD, B1D1平面BDF,BD平面BDF, B1D1平面BDF. 连接HB,D1F, 易证HBFD1是平行四边形,得HD1BF. HD1平面BDF,BF平面BDF, HD1平面BDF.B1D1HD1D1, 平面BD

8、F平面B1D1H.,证明,反思与感悟 (1)判断线线平行的方法 利用定义:证明线线共面且无公共点. 利用平行公理:证明两条直线同时平行于第三条直线. 利用线面平行的性质定理: a,a,bab. 利用面面平行的性质定理: ,a,bab. 利用线面垂直的性质定理: a,bab.,(2)判定线面平行的方法 利用定义:证明直线a与平面没有公共点,往往借助反证法. 利用直线和平面平行的判定定理: a,b,aba. 利用面面平行的性质的推广: ,aa.,(3)判定面面平行的方法 利用面面平行的定义:两个平面没有公共点. 利用面面平行的判定定理: a,b,abA,a,b. 垂直于同一条直线的两个平面平行,即

9、a,a. 平行于同一个平面的两个平面平行,即,.,跟踪训练2 如图,ABC为正三角形,EC平面ABC,DB平面ABC,CECA2BD,M是EA的中点,N是EC的中点,求证:平面DMN平面ABC.,证明,证明 M,N分别是EA与EC的中点,MNAC, 又AC平面ABC,MN平面ABC,MN平面ABC, DB平面ABC,EC平面ABC,BDEC, N为EC中点,EC2BD,,四边形BCND为矩形, DNBC,又DN平面ABC,BC平面ABC, DN平面ABC,又MNDNN, 平面DMN平面ABC.,类型三 空间中的垂直关系,例3 如图,已知直角梯形ABCD中,E为CD的中点,且AECD,又G,F分

10、别为DA,EC的中点,将ADE沿AE折起,使得DEEC. (1)求证:AE平面CDE;,证明,证明 由已知得DEAE,AEEC. DEECE,DE,EC平面DCE, AE平面CDE.,(2)求证:FG平面BCD;,证明 取AB的中点H,连接GH,FH, GHBD,FHBC. GH平面BCD,BD平面BCD, GH平面BCD. 同理,FH平面BCD, 又GHFHH, 平面FHG平面BCD, GF平面FHG, GF平面BCD.,证明,(3)在线段AE上找一点R,使得平面BDR平面DCB,并说明理由.,解答,解 取线段AE的中点R, DC的中点M,DB的中点S, 连接MS,RS,BR,DR,EM,,

11、四边形MERS是平行四边形, RSME. 在DEC中,EDEC,M是CD的中点, EMDC.,由(1)知AE平面CDE,AEBC, BC平面CDE. EM平面CDE,EMBC. BCCDC,EM平面BCD. EMRS,RS平面BCD. RS平面BDR, 平面BDR平面DCB.,反思与感悟 空间中垂直关系的判定方法 (1)判定线线垂直的方法 利用线面垂直的性质(若a,b,则ab). (2)判定线面垂直的方法 线面垂直定义(一般不易验证任意性). 线面垂直的判定定理(ab,ac,b,c,bcMa). 平行线垂直平面的传递性质(ab,ba). 面面垂直的性质(,l,a,ala). 面面平行的性质(a

12、,a). (3)面面垂直的判定方法 利用面面垂直的判定定理(a,a).,跟踪训练3 如图,在ABC中,ACBC ,四边形ABED是边长为a的正方形,平面ABED平面ABC,若G,F分别是EC,BD的中点. (1)求证:GF平面ABC;,证明,证明 如图,取BE的中点H,连接HF,GH.因为G,F分别是EC和BD的中点,所以HGBC,HFDE. 又因为四边形ADEB为正方形, 所以DEAB,从而HFAB. 所以HF平面ABC,HG平面ABC. 又因为GHHFH, 所以平面HGF平面ABC,又GF平面HGF, 所以GF平面ABC.,(2)求证:平面EBC平面ACD;,证明 因为四边形ADEB为正方

13、形,所以EBAB. 又因为平面ABED平面ABC, 平面ABED平面ABCAB, 所以BE平面ABC,所以BEAC. 又因为CA2CB2AB2,所以ACBC. 又因为BEBCB, 所以AC平面BCE. 又因为AC平面ACD, 从而平面EBC平面ACD.,证明,(3)求几何体ADEBC的体积V.,解答,解 取AB的中点N,连接CN,因为ACBC,,又平面ABED平面ABC, 平面ABED平面ABCAB, 所以CN平面ABED. 因为CABED是四棱锥,,达标检测,答案,1,2,3,4,1.已知圆锥的母线长为10 cm,侧面积为60 cm2,则此圆锥的体积为,5,解析,解析 圆锥的侧面积为rl10

14、r60,得r6.,解析 当l1l2,l2l3时,l1也可能与l3相交或异面,故A错; l1l2,l2l3l1l3,B正确; 当l1l2l3时,l1,l2,l3未必共面,如三棱柱的三条侧棱,故C错; l1,l2,l3共点时,l1,l2,l3未必共面,如正方体中从同一顶点出发的三条棱,故D错.,1,2,3,4,解析,答案,2.若l1,l2,l3是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是 A.l1l2,l2l3l1l3 B.l1l2,l2l3l1l3 C.l1l2l3l1,l2,l3共面 D.l1,l2,l3共点l1,l2,l3共面,5,答案,1,2,3,4,解析,答案,解析 选项A中当m,n时,m与

15、n可以平行、相交、异面; 选项B中满足条件的与可以平行,也可以相交; 选项C中,当,m时,m与可以垂直,也可以平行等. 故选项A、B、C均不正确.,3.设有不同的直线m,n和不同的平面,下列四个命题中,正确的是 A.若m,n,则mn B.若m,n,m,n,则 C.若,m,则m D.若,m,m,则m,5,1,2,3,4,解析,答案,4.如图所示,ABCDA1B1C1D1是棱长为a的正方体,M,N分别是下底面的棱A1B1,B1C1的中点,P是上底面的棱AD上的一点,AP 过P,M,N的平面交上底面于PQ,Q在CD上,则PQ_.,解析 MN平面AC,平面PMNQ平面ACPQ,,5,1,2,3,4,5

16、,5.如图,在棱锥PABC中,D,E,F分别为棱PC,AC,AB的中点.已知PAAC,PA6,BC8,DF5. 求证:(1)直线PA平面DEF;,证明 因为D,E分别为棱PC,AC的中点, 所以DEPA. 又因为PA平面DEF,DE平面DEF, 所以直线PA平面DEF.,证明,(2)平面BDE平面ABC.,证明 因为D,E,F分别为棱PC,AC,AB的中点,PA6,BC8,,证明,又因为DF5,故DF2DE2EF2, 所以DEF90,即DEEF. 又PAAC,DEPA,所以DEAC. 因为ACEFE,AC平面ABC,EF平面ABC, 所以DE平面ABC. 又DE平面BDE,所以平面BDE平面ABC.,1,2,3,4,5,1.研究空间几何体,需在平面上画出几何体的直观图或三视图,由几何体的直观图可画它的三视图,由三视图可得到其直观图,同时可以通过作截面把空间几何问题转化成平面几何问题来解决. 另外,圆柱、圆锥、圆台的表面积公式,我们都是通过展开图、化空间为平面的方法得到的,求球的切接问题通常也是由截面把空间问题转化为平面问题来解决.,规律与方法,2.转化思想是证明线面平行与垂直的主要思路,其关系为,