1、1.1.7 柱、锥、台和球的体积,第一章 1.1 空间几何体,学习目标 1.理解祖暅原理的内容. 2.了解柱、锥、台体的体积公式的推导. 3.掌握柱、锥、台和球的体积公式.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,思考 取一摞纸张堆放在桌面上(如图所示) ，并改变它们的放置方法，观察改变前后的体积是否发生变化？从这个事实中你得到什么启发？,答案 体积没有发生变化，从这个事实中能够猜测出两等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.,知识点一 祖暅原理,梳理 祖暅原理的含义及应用 (1)内容：幂势既同，则积不容异. (2)含义：夹在 的两个几何体，被平行于
2、这两个平面的所截，如果截得的 ，那么这两个几何体的体积相等. (3)应用： 的两个柱体或锥体的体积相等.,两个平行平面间,两个截面的面积总相等,任意平面,等底面积、等高,知识点二 柱、锥、台、球的体积公式,VSh,Vr2h,其中S、S分别表示上、下底面的面积，h表示高，r和r分别表示上、下底面的半径，R表示球的半径,思考辨析 判断正误 1.锥体的体积等于底面面积与高之积.( ) 2.台体的体积可转化为两个锥体的体积之差.( ) 3.两个球的半径之比为12，则其体积之比为14.( ),题型探究,例1 (1)如图所示，已知三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长均为1，且AA1底面ABC，则三棱锥B1A
3、BC1的体积为_.,类型一 柱体、锥体、台体的体积,答案,解析,(2)如图所示，在长方体ABCDABCD中，用截面截下一个棱锥CADD，求棱锥CADD的体积与剩余部分的体积之比.,解答,解 设ABa，ADb，AAc，,棱锥CADD的体积与剩余部分的体积之比为15.,反思与感悟 (1)常见的求几何体体积的方法 公式法：直接代入公式求解. 等积法：如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可. 分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积. (2)求几何体体积时需注意的问题 柱、锥、台体的体积的计算，一般要找出相应的底面和高，要充分利用截面、轴截面，求出所需要的量，最
4、后代入公式计算.,跟踪训练1 已知一个三棱台上、下底面分别是边长为20 cm和30 cm的正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且侧面面积等于上、下底面面积之和，求棱台的高和体积.,解答,解 如图，在三棱台ABCABC中，取上、下底面的中心分别为O，O，BC，BC的中点分别为D，D，则DD是梯形BCCB的高.,又因为AB20 cm，AB30 cm，,由棱台的体积公式，可得棱台的体积为,1 900(cm3).,类型二 球的体积,例2 (1)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高 8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，如果不计容器厚度，则球的体
5、积为,答案,解析,解析 作出该球轴的截面如图所示，依题意BE2，AECE4，设DEx，故AD2x， 因为AD2AE2DE2，解得x3，故该球的半径AD5，,(2)设长方体的长、宽、高分别为2a，a，a，其顶点都在一个球面上，则该球的体积为_.,答案,解析,反思与感悟 (1)求球的体积，关键是求球的半径R. (2)球与其他几何体组合的问题，往往需要作截面来解决，所作的截面尽可能过球心、切点、接点等.,答案,解析,解析 设球心为O，截面圆心为O1，连接OO1，则OO1垂直于截面圆O1，如图所示.,答案,解析,(2)设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为,解析
6、 由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与底面边长相等，均为a.如图，P为三棱柱上底面的中心，O为球心，,类型三 几何体体积的求法,命题角度1 等体积法 例3 如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长 为1，E为线段B1C上的一点，则三棱锥ADED1的体积为_.,解析,答案,解析,反思与感悟 (1)利用转换底面以便于找到几何体的高，从而求出几何体的体积. (2)利用等体积法可求点到平面的距离.,跟踪训练3 如图，在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，求点A到平面A1BD的距离d.,解答,解 在三棱锥A1ABD中，AA1平面ABD， ABADAA1a，,命题角度2 割补法 例4 如图
7、，在多面体ABCDEF中，已知平面ABCD是边长为4的正方形，EFAB，EF2，EF上任意一点到平面ABCD的距离均为3，求该多面体的体积.,解答,解 如图，连接EB，EC. 四棱锥EABCD的体积,多面体的体积VV四棱锥EABCDV三棱锥FEBC16420.,AB2EF，EFAB， SEAB2SBEF，,反思与感悟 当一个几何体的形状不规则时，无法直接运用体积公式求解，这时一般通过分割与补形，将原几何体分割或补形成较易计算体积的几何体，从而求出原几何体的体积.,跟踪训练4 如图，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3，求该几何体的体积.,解答,解 用一
8、个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱，如图，则圆柱的体积为22520，故所求几何体的体积为10.,达标检测,1.已知高为3的棱柱ABCA1B1C1的底面是边长为1的正三角形(如图)，则三棱锥B1ABC的体积为,1,2,3,4,5,答案,解析,2.若两球的体积之和是12，经过两球球心的截面圆周长之和为6，则两球的半径之差为 A.1 B.2 C.3 D.4,1,2,3,4,5,答案,解析,解析 设两球的半径分别为R，r(Rr)，,Rr1.,1,2,3,3.现有一个底面直径为20 cm的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水中放着一个底面直径为6 cm，高为20 cm的圆锥形铅锤，铅锤完全浸没在水中.
9、当铅锤从水中取出后，杯里的水将下降 A.0.6 cm B.0.15 cm C.1.2 cm D.0.3 cm,4,5,答案,解析,1,2,3,4,5,解析,答案,解析 设圆锥的母线为l，底面半径为r.,1,2,3,4,5,5.设正六棱锥的底面边长为1，侧棱长为 ，那么它的体积为_.,答案,解析,1.计算柱体、锥体和台体的体积时，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，要充分运用多面体的有关截面及旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题.旋转体的轴截面是用过旋转轴的平面去截旋转体而得到的截面.例如，圆柱的轴截面是矩形，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形，球的轴截面是过球心的平面截球所得的圆面. 2.在求不规则的几何体的体积时，可利用分割几何体或补全几何体的方法转化为柱、锥、台、球的体积计算问题.,规律与方法,