1、1.1.6 棱柱、棱锥、棱台和球的表面积,第一章 1.1 空间几何体,学习目标 1.理解棱柱、棱锥、棱台和球的表面积的概念，了解它们的侧面展开图. 2.掌握直棱柱、正棱锥、正棱台的表面积公式，并会求它们的表面积. 3.掌握球的表面积公式并会求球的表面积.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,知识点 直棱柱、正棱锥、正棱台和旋转体的表面积,ch,侧面积,底面积,4R2,其中c，c分别表示上、下底面周长，h表示高，h表示斜高，R表示球的半径.,思考辨析 判断正误 1.多面体的表面积等于各个面的面积之和.( ) 2.斜三棱柱的侧面积也可以用cl来求解，其中l为侧棱长，c为底面 周长.(
2、 ) 3.球的表面积等于它的大圆面积的2倍.( ),题型探究,命题角度1 多面体的侧(表)面积 例1 现有一个底面是菱形的直四棱柱，它的体对角线长为9和15，高是5，求该直四棱柱的侧面积.,类型一 柱、锥、台的侧(表)面积,解答,解 如图，设底面对角线ACa，BDb，交点为O，对角线A1C15，B1D9， a252152，b25292， a2200，b256. 该直四棱柱的底面是菱形，,AB8. 直四棱柱的侧面积为485160.,反思与感悟 多面体表面积的求解方法 (1)棱锥、棱台的表面积为其侧面积与底面积之和，底面积根据平面几何知识求解，求侧面积的关键是求斜高和底面周长. (2)斜高、侧棱及
3、其在底面的射影与高、底面边长等，往往可以构成直角三角形(或梯形)，利用好这些直角三角形(或梯形)是解题的关键.,跟踪训练1 已知正四棱台的上、下底面边长分别为3和6，其侧面积等于两底面面积之和，则该正四棱台的高是,解析 如图，E、E1分别是BC、B1C1的中点，O、O1分别是下、上底面正方形的中心，则O1O为正四棱台的高，连接OE、O1E1，作E1HO1O，,答案,E1H2，O1O2，故选A.,解析,命题角度2 圆柱与圆锥的侧(表)面积 例2 (1)若圆锥的母线长为2 cm，底面圆的周长为2 cm，则圆锥的表面积为_ cm2.,解析 因为底面圆的周长为2 cm，所以底面圆的半径为1 cm， 所
4、以圆锥的底面积为 cm2， 圆锥的侧面积为 222(cm2)， 所以圆锥的表面积为3 cm2.,3,答案,解析,(2)已知圆柱与圆锥的高、底面半径分别相等.若圆柱的底面半径为r，圆柱 的侧面积为S，则圆锥的侧面积为_.,答案,解析,反思与感悟 由圆柱、圆锥的侧面积公式可知，要求其侧面积，必须已知(或能求出)它的底面圆的半径和它的母线长.,跟踪训练2 轴截面是正三角形的圆锥称作等边圆锥，则等边圆锥的侧面积是底面积的,解析 设圆锥底面半径为r， 由题意知母线长l2r， 则S侧r2r2r2，,答案,解析,类型二 简单组合体的表面积,例3 牧民居住的蒙古包的形状是一个圆柱与圆锥的组合体，尺寸如图所示(
5、单位：m)，请你帮助算出要搭建这样的一个蒙古包至少需要多少篷布？(精确到0.01 m2),下部分圆柱体的侧面积为S251.8(m2). 搭建这样的一个蒙古包至少需要的篷布为,解答,反思与感悟 (1)组合体的侧面积和表面积问题，首先要弄清楚它是由哪些简单几何体组成，然后再根据条件求各个简单组合体的基本量，注意方程思想的应用. (2)在实际问题中，常通过计算物体的表面积来研究如何合理地用料，如何节省原材料等，在求解时应结合实际，明确实际物体究竟是哪种几何体，哪些面计算在内，哪些面实际没有.,跟踪训练3 有两个相同的直三棱柱，高为 ，底面三角形的边长分别为3a,4a,5a (a0).用它们拼成一个三
6、棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，表面积最小的是一个四棱柱，求a的取值范围.,解答,解 两个相同的直棱柱拼成一个三棱柱或四棱柱，有四种情况：四棱柱有一种，边长为5a的边重合在一起，表面积为24a228. 三棱柱有三种，边长为4a的边重合在一起，表面积为24a232；边长为3a的边重合在一起，表面积为24a236；两个相同的直三棱柱竖直放在一起，表面积为12a248. 最小的是一个四棱柱，即24a22812a248，,例4 有三个球，第一个球内切于正方体，第二个球与这个正方体各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比.,解答,类型三 球的表面积,解 设正方体的棱长为a.
7、(1)正方体的内切球球心是正方体的中心，切点是六个面正方形的中心，经过四个切点及球心作截面，,(2)球与正方体的各棱的切点在每条棱的中点，过球心作正方体的对角面得截面，,(3)正方体的各个顶点在球面上，过球心作正方体的对角面得截面，如图，,综上可得S1S2S3123.,反思与感悟 (1)在处理球和长方体的组合问题时，通常先作出过球心且过长方体对角面的截面图，然后通过已知条件求解. (2)球的表面积的考查常以外接球的形式出现，可利用几何体的结构特征构造熟悉的正方体，长方体等，通过彼此关系建立关于球的半径的等式求解.,跟踪训练4 已知H是球O的直径AB上一点，AHHB12，AB平面，H为垂足，截球
8、O所得截面的面积为，则球O的表面积为_.,答案,解析,解析 如图，设球O的半径为R，则由AHHB12，得,截面面积为(HM)2， HM1. 在RtHMO中，OM2OH2HM2，,达标检测,1.已知一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的表面积与侧面积的比是,1,2,3,4,解析 设圆柱底面半径、母线长分别为r，l， 由题意知l2r，S侧l242r2. S表S侧2r242r22r22r2(21)，,答案,解析,2.若正三棱锥的斜高是高的 倍，则该正三棱锥的侧面积是底面积的_倍.,1,2,3,4,答案,解析,2,1,2,3,4,设底面边长为a，,1,2,3,4,则正三棱锥的侧面积与底面积的比为
9、hOM2， 故该正三棱锥的侧面积是底面积的2倍.,1,2,3,3.一个高为2的圆柱，底面周长为2，则该圆柱的表面积为_.,4,答案,解析,解析 设圆柱的底面半径为r，高为h. 由2r2，得r1， S圆柱表2r22rh246.,6,1,2,3,4,4.表面积为3的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面直径为_.,答案,解析,2,解析 设圆锥的母线为l，圆锥底面半径为r.,r1，即圆锥的底面直径为2.,1.多面体的表面积为围成多面体的各个面的面积之和.棱柱的表面积等于它的侧面积加两个底面积；棱锥的表面积等于它的侧面积加底面积；棱台的表面积等于它的侧面积加两个底的面积. 2.有关旋转体的表面积的计算要充分利用其轴截面，就是说将已知条件尽量归结到轴截面中求解.而对于圆台有时需要将它还原成圆锥，再借助相似的相关知识求解.,规律与方法,