1、1.1.4 投影与直观图,第一章 1.1 空间几何体,学习目标 理解直观图的斜二测画法规则，会画常见几何体的直观图.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,知识点 直观图与斜二测画法,(1)直观图 用来表示空间图形的 . (2)斜二测画法的规则 在已知模型所在的空间中取水平平面，作互相垂直的Ox，Oy轴，再作Oz轴，使xOz ，且yOz . 画直观图时，把Ox，Oy，Oz画成对应的轴Ox，Oy，Oz，使xOy ，xOz ，xOy所确定的平面表示水平平面.,平面图形,90,90,45(或135),90,已知图形中，平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成平行于 、 或 的线段
2、，并使它们和所画坐标轴的位置关系，与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系 . 已知图形中平行于x轴和z轴的线段，在直观图中 ，平行于y轴的线段，长度为 . 画图完成后，擦去作为辅助线的 ，就得到了空间图形的直观图.,x轴,z轴,y轴,相同,保持长度不变,原来的一半,坐标轴,思考辨析 判断正误 1.用斜二测画法画水平放置的A时，若A的两边分别平行于x轴和y轴，且A90，则在直观图中，A45.( ) 2.用斜二测画法画平面图形的直观图时，平行的线段在直观图中仍平行，且长度不变.( ) 3.在斜二测画法中平行于y轴的线段在直观图中长度保持不变.( ),题型探究,例1 画出如图水平放置的直角梯形的直
3、观图.,类型一 直观图的画法,解答,解 (1)在已知的直角梯形OBCD中，以底边OB所在直线为x轴，垂直于OB的腰OD所在直线为y轴建立平面直角坐标系.画出相应的x轴和y轴，使xOy45，如图(1)(2)所示.(2)在x轴上截取OBOB，在y轴上截取OD OD，过点D作x轴的平行线l，在l上沿x轴正方向取点C使得DCDC.连接BC，如图(2).,(3)所得四边形OBCD就是直角梯形OBCD的直观图，如图(3).,引申探究 若将本例中的直角梯形改为等腰梯形，其直观图如何？,解答,解 画法：(1)如图所示，取AB所在直线为x轴，AB中点O为原点，建立直角坐标系.(2)画对应的坐标系xOy，使xOy
4、45.以O为中点在x轴上取ABAB，在y轴上取OE OE，以E为中点画出CDx轴，并使CDCD. (3)连接BC，DA，所得的四边形ABCD就是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图.,反思与感悟 (1)本题利用直角梯形互相垂直的两边建系，使画直观图非常简便. (2)在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的直角坐标系是关键之一，一般要使平面多边形尽可能多的顶点落在坐标轴上，以便于画点.原图中不平行于坐标轴的线段可以通过作平行于坐标轴的线段来作出其对应线段.关键之二是确定多边形顶点的位置，借助于平面直角坐标系确定顶点后，只需把这些顶点顺次连接即可.,跟踪训练1 (1)用斜二测画法画边长为4 cm
5、的水平放置的正三角形(如图)的直观图.,解答,解 如图a所示，以BC边所在的直线为x轴，以BC边上的高线AO所在的直线为y轴建立平面直角坐标系.,画出对应的x轴、y轴，使xOy45.,(2)画一个正四棱锥的直观图(尺寸自定).,解答,解 画轴.如图c，画x轴、y轴、z轴，使xOy45(或135)，xOz90.画底面.以O为中心，在xOy平面内，画出正方形的直观图ABCD. 画顶点.在Oz轴上截取OS，使OS等于已知正四棱锥的高. 画棱.连接SA，SB，SC，SD，擦去辅助线(坐标轴)，得到正四棱锥SABCD的直观图，如图d所示.,类型二 直观图的还原与计算,解答,命题角度1 由直观图还原平面图
6、形 例2 如图所示，ABC是水平放置的平面图形的斜二测直观图，将其还原成平面图形.,解 画出直角坐标系xOy，在x轴的正方向上取OAOA， 即CACA； 过B作BDy轴，交x轴于点D， 在OA上取ODOD，过D作DBy轴， 且使DB2DB； 连接AB，BC，得ABC. 则ABC即为ABC对应的平面图形， 如右图所示.,反思与感悟 由直观图还原平面图形的关键 (1)平行于x轴的线段长度不变，平行于y轴的线段扩大为原来的2倍. (2)对于相邻两边不与x、y轴平行的顶点可通过作x轴，y轴平行线变换确定其在xOy中的位置.,跟踪训练2 如图所示，矩形OABC是水平放置的一个平面图形的直观图，其中OA6
7、 cm，CD2 cm，则原图形是_形.,菱,答案,解析,命题角度2 原图形与直观图的面积的计算 例3 如图所示，梯形A1B1C1D1是一平面图形ABCD的直观图.若A1D1Oy，A1B1C1D1，A1B1 C1D12，A1D1OD11.试画出原四边形的形状，并求出原图形的面积.,解答,解 如图，建立直角坐标系xOy，在x轴上截取ODOD11，OCOC12. 在过点D的y轴的平行线上截取DA2D1A12. 在过点A的x轴的平行线上截取ABA1B12. 连接BC，即得到了原图形. 由作法可知，原四边形ABCD是直角梯形，上、下底长度分别为AB2，CD3，直角腰的长度AD2，,反思与感悟 (1)由原
8、图形求直观图的面积，关键是掌握斜二测画法，明确原来实际图形中的高，在直观图中变为与水平直线成45(或135)角且长度为原来一半的线段，这样可得出所求图形相应的高.,跟踪训练3 如图所示，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形ABO，若OB1，那么原三角形ABO的面积是,答案,解析,达标检测,1.已知一个正方形的直观图是一个平行四边形，其中有一边长为4，则此正方形的面积为 A.16 B.64 C.16或64 D.无法确定,1,2,3,4,解析 等于4的一边在原图形中可能等于4，也可能等于8，所以正方形的面积为16或64.,答案,解析,2.利用斜二测画法画出边长为3 cm的正方形的直观
9、图，正确的是图中的,1,2,3,4,答案,解析,解析 正方形的直观图应是平行四边形，且相邻两边的边长之比为21.,1,2,3,3.有一个长为5 cm，宽为4 cm的矩形，则其用斜二测画法得到的直观图的面积为_cm2.,4,答案,解析,4.画出水平放置的四边形OBCD(如图所示)的直观图.,解答,1,2,3,4,解 (1)过点C作CEx轴，垂足为E，如图所示，画出对应的x轴、y轴，使xOy45，如图所示.(2)如图所示，在x轴上取点B，E， 使得OBOB，OEOE； 在y轴上取一点D，,1,2,3,4,过E作ECy轴，,连接DC，BC. (3)擦去坐标轴及BE，EC，则所求四边形OBCD的直观图
10、如图所示.,1,2,3,4,1.画水平放置的平面图形的直观图，关键是确定直观图的顶点.确定点的位置，可采用直角坐标系.建立恰当的坐标系是迅速作出直观图的关键，常利用图形的对称性，并让顶点尽量多地落在坐标轴上或与坐标轴平行的直线上. 2.用斜二测画法画图时要紧紧把握住：“一斜”、“二测”两点： (1)一斜：平面图形中互相垂直的Ox、Oy轴，在直观图中画成Ox、Oy轴，使xOy45或135. (2)二测：在直观图中平行于x轴的长度不变，平行于y轴的长度取一半，记为“横不变，纵折半”.,规律与方法,3.中心投影的投射线相交于一点，中心投影后，图形与原图形相比虽然相差较大，但直观性强，看起来与人的视觉效果一致.若一个平面图形所在的平面与投射面平行，则中心投影后得到的图形与原图形相似.,