1、1.1.3 圆柱、圆锥、圆台和球,第一章 1.1 空间几何体,学习目标 1.认识组成我们生活世界的各种各样的旋转体. 2.认识和把握圆柱、圆锥、圆台、球体的几何结构特征.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,知识点一 圆柱、圆锥、圆台,圆柱、圆锥、圆台的定义及结构特征,矩形的一边,直角三角形的一直角边,直角梯形中垂直于底边的腰,(2)相关概念 高：在 的这条边(或它的长度). 底面： 的边旋转而成的圆面. 侧面： 旋转而成的曲面. 母线：绕轴旋转的边. (3)图形表示,轴上,不垂直于轴的边,垂直于轴,知识点二 球,1.定义：一个球面可以看作 绕着 所在的直线旋转一周所形成的曲面，
2、 围成的几何体叫做球. 2.相关概念 (1)球心：形成球的半圆的 ；球的半径：连接球心和球面上一点的 . (2)球的直径：连接球面上两点并且通过 的线段. (3)球的大圆： 的平面截得的圆. (4)球的小圆：球面被不经过球心的平面截得的圆. (5)两点的球面距离：在球面上，两点之间的最短距离，就是_的长度，把这个 叫做两点的球面距离.,半圆,圆心,球面被经过球心,弧长,它的直径,球面,球心,线段,经过这两点,的大圆在这两点间的一段劣弧,3.球形表示,特别提醒：球与球面是完全不同的两个概念，球指球面所围成的空间，而球面只指球的表面部分.,知识点三 旋转体,1.定义：由一个 绕着一条直线旋转产生的
3、曲面所围成的几何体. 2.轴：这条直线叫做旋转体的轴.,平面图形,知识点四 组合体,思考 组合体是由简单几何体堆砌(或叠加)而成的吗？,答案 不是，组合体的组合方式有多种，可以堆砌，可以挖空等.,梳理 由 、 、 、 等基本几何体组合而成的几何体叫做组合体.,柱,锥,台,球,思考辨析 判断正误 1.圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台.( ) 2.夹在圆柱的两个平行截面间的几何体是一圆柱.( ) 3.半圆绕其直径所在直线旋转一周形成球.( ),题型探究,例1 下列命题正确的是_.(填序号) 以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥； 以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转
4、体是圆台； 圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆； 以等腰三角形的底边上的高线所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周形成的几何体是圆锥； 半圆面绕其直径所在直线旋转一周形成球； 用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面.,类型一 旋转体的结构特征,答案,解析,解析 以直角三角形的一条直角边所在直线为轴旋转一周才可以得到圆锥； 以直角梯形垂直于底边的一腰所在直线为轴旋转一周可得到圆台； 它们的底面为圆面； 正确.,反思与感悟 (1)判断简单旋转体结构特征的方法 明确由哪个平面图形旋转而成. 明确旋转轴是哪条直线. (2)简单旋转体的轴截面及其应用 简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构
5、特征的关键量. 在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想.,跟踪训练1 下列命题： 圆柱的轴截面是过母线的截面中最大的一个； 用任意一个平面去截圆锥得到的截面一定是一个圆； 圆台的任意两条母线的延长线，可能相交也可能不相交； 球的半径是球面上任意一点与球心的连线段. 其中正确的个数为 A.0 B.1 C.2 D.3,解析 错误，截面可能是一个三角形； 错误，圆台的任意两条母线的延长线必相交于一点； 正确.故选C.,解析,答案,类型二 简单组合体的结构特征,解答,解 (1)以AB边为轴旋转所得旋转体是圆台，如图(1)所示. (2)以CD边为轴旋转所得旋转体为一组合体：上部
6、为圆锥，下部为圆台，再挖去一个小圆锥.如图(2)所示. (3)以AD边为轴旋转得到一个组 合体，它是一个圆柱上部挖去 一个圆锥.如图(3)所示.,例2 如图所示，已知AB是直角梯形ABCD与底边垂直的 一腰.分别以AB，CD，AD为轴旋转，试说明所得几何体 的结构特征.,反思与感悟 (1)平面图形以一边所在直线为轴旋转时，要过有关顶点向轴作垂线，然后想象所得旋转体的结构和组成. (2)必要时作模型，培养动手能力.,跟踪训练2 如图(1)、(2)所示的图形绕虚线旋转一周后形成的立体图形分别是由哪些简单几何体组成的？,解答,解 图(1)、图(2)旋转后的图形如图所示分别是图、图.其中图是由一个圆柱
7、O1O2和两个圆台O2O3，O3O4组成的； 图是由一个圆锥O5O4，一个圆柱O3O4及一个圆台O1O3中挖去圆锥O2O1组成的.,类型三 旋转体中的有关计算,命题角度1 有关圆柱、圆锥、圆台的计算 例3 一个圆台的母线长为12 cm，两底面面积分别为4 cm2和25 cm2，求： (1)圆台的高；,解答,解 圆台的轴截面是等腰梯形ABCD(如图所示). 由已知可得O1A2 cm，OB5 cm. 又由题意知，腰长为12 cm，,解答,解 如图所示，延长BA，OO1，CD交于点S， 设截得此圆台的圆锥的母线长为l，,(2)将圆台还原为圆锥后，圆锥的母线长.,即截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm
8、.,反思与感悟 用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体，注意抓住截面的性质(与底面全等或相似)，同时结合旋转体中的经过旋转轴的截面(轴截面)的性质，利用相似三角形中的相似比，构设相关几何变量的方程组而得解.,跟踪训练3 如图，在底面半径为2，母线长为4的圆锥中内接一个高为 的圆柱，求圆柱的底面半径.,解答,解 设圆锥的底面半径为R，圆柱的底面半径为r， 则由三角形相似，,即圆柱的底面半径为1.,命题角度2 球的截面的有关计算 例4 在球内有相距9 cm的两个平行截面面积分别为49 cm2和400 cm2，求此球的半径.,解答,解 若两截面位于球心的同侧，如图(1)所示的是经过球心O的大圆截面
9、，C，C1分别是两平行截面的圆心，设球的半径为R cm，截面圆的半径分别为r cm，r1 cm.由r2400，得r20(r20舍去).,解此方程，取正值得R25.,综上所述，此球的半径为25 cm.,解析 画出球的截面图，如图所示. 两平行直线是球的两个平行截面的直径，有两种 情形： 两个平行截面在球心的两侧， 两个平行截面在球心的同侧.,引申探究 若将把本例的条件改为“球的半径为5，两个平行截面的周长分别为6和8”，则两平行截面间的距离是_.,两平行截面间的距离是mn7； 对于，两平行截面间的距离是mn1.,1或7,答案,解析,反思与感悟 设球的截面圆上一点A，球心为O，截面圆心为O1，则A
10、O1O是以O1为直角顶点的直角三角形，解答球的截面问题时，常用该直角三角形或者用过球心和截面圆心的轴截面求解.,跟踪训练4 设地球半径为R，在北纬45圈上有A、B两地，它们在纬度圈上的弧长等于 R.求A，B两地间的球面距离.,解答,解 如图所示，A，B是北纬45圈上的两点，AO为它的半径，O为地球的球心， OO AO，OOBO. OAOOBO45，,设AOB的度数为，,90.,在AOB中，AOBOABR，则AOB为正三角形， AOB60.,达标检测,1.下列几何体是台体的是,1,2,3,4,5,解析 台体包括棱台和圆台两种，A的错误在于四条侧棱没有交于一点，B的错误在于截面与圆锥底面不平行.
11、C是棱锥，结合棱台和圆台的定义可知D正确.,答案,解析,2.下列选项中的三角形绕直线l旋转一周，能得到如下图中的几何体的是,1,2,3,4,5,答案,解析,解析 由题意知，所得几何体是组合体，上、下各一圆锥，显然B正确.,1,2,3,3.下面几何体的截面一定是圆面的是 A.圆台 B.球 C.圆柱 D.棱柱,4,5,答案,解析,解析 截面可以从各个不同的部位截取，截得的截面都是圆面的几何体只有球.,1,2,3,4,5,4.若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为 ，则这个圆锥的母线长为_.,答案,解析,2,AB2.故圆锥的母线长为2.,1,2,3,4,5,5.湖面上浮着一个球，湖水结冰后，将球取出，冰上留下一个直径为 24 cm，深为8 cm的空穴，则球的半径为_ cm.,答案,解析,解析 设球的半径为R cm， 由题意知，截面圆的半径r12 cm，球心距d(R8)cm， 由R2r2d2，得R2144(R8)2， 即20816R0，解得R13 cm.,13,1.圆柱、圆锥、圆台的关系如图所示.,规律与方法,2.处理台体问题常采用还台为锥的补体思想. 3.处理组合体问题常采用分割思想. 4.重视圆柱、圆锥、圆台的轴截面在解决几何问题中的特殊作用，切实体会空间几何平面化的思想.,