1、1.1.2 棱柱、棱锥和棱台的结构特征,第一章 1.1 空间几何体,学习目标 1.认识组成我们生活世界的各种各样的多面体. 2.认识和把握棱柱、棱锥、棱台的几何结构特征. 3.了解多面体可按哪些不同的标准分类，可以分成哪些类别.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,知识点一 多面体,多面体的有关概念 (1)多面体：由若干个 所围成的几何体. (2)多面体的相关概念 面：围成多面体的 . 棱：相邻的两个面的 . 顶点：棱和棱的 . 对角线：连接 的两个顶点的线段. 截面：一个几何体和一个平面相交所得到的平面图形(包含它的内部). (3)凸多面体：把一个多面体的任意一个面延展为平面，
2、如果其余的各面，则这样的多面体就叫做凸多面体.,平面多边形,各个多边形,公共边,公共点,不在同一个面上,都在这个平面的同一侧,知识点二 棱柱,1.棱柱的定义及表示,互相平行,每相邻两个面的交线,ABCDEABCDE,AC,2.棱柱的分类 (1)按底面多边形的边数,(3)特殊的四棱柱,知识点三 棱锥,1.棱锥的定义及表示,有一个公共顶点,SABCD,SAC,多边形,2.棱锥的分类 (1)按底面多边形的边数,过底面中心，且与底面垂直,正多边形,知识点四 棱台,1.棱台的结构特征及分类,截面,底面,平行于,底面的平面,ABCABC,2.特殊的棱台 正棱台：由 截得的棱台.,正棱锥,思考辨析 判断正误
3、 1.棱柱的侧面都是平行四边形.( ) 2.有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥.( ) 3.夹在两个平行的平面之间，其余面都是梯形，这样的几何体一定是棱台.( ),题型探究,例1 (1)下列命题中正确的是 A.棱柱的面中，至少有两个面互相平行 B.棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面 C.在平行六面体中，任意两个相对的面均互相平行，但平行六面体的任意两个相对的面不一定可当作它的底面 D.棱柱的侧面是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形,类型一 棱柱、棱锥、棱台的有关概念,解析 正四棱柱中两个相对侧面互相平行，故B错； 平行六面体的任意两个相对面可作底面，故C错； 棱柱的
4、底面可以是平行四边形，故D错.,答案,解析,(2)下列说法正确的序号是_. 棱锥的侧面不一定是三角形； 棱锥的各侧棱长一定相等； 棱台的各侧棱的延长线交于一点； 有两个面互相平行且相似，其余各面都是梯形，则此几何体是棱台.,解析 棱锥的侧面是有公共顶点的三角形，但是各侧棱不一定相等，故不正确； 棱台是由平行于棱锥底面的平面截棱锥得到的，故各个侧棱的延长线一定交于一点，正确； 棱台的各条侧棱必须交于一点，故不正确.,答案,解析,反思与感悟 棱柱、棱锥、棱台的结构特征 (1)棱柱有两个主要结构特征：一是有两个面互相平行，二是各侧棱都平行，各侧面都是平行四边形. (2)棱锥有两个主要结构特征：一是有
5、一个面是多边形，二是其余各面都是有一个公共顶点的三角形. (3)棱台的上、下底面平行且相似，各侧棱延长交于一点.,跟踪训练1 (1)下列命题： 各侧面为矩形的棱柱是长方体； 直四棱柱是长方体； 侧棱与底面垂直的棱柱是直棱柱； 各侧面是矩形的直四棱柱为正四棱柱. 其中正确的是_.(填序号),解析 中一定为直棱柱但不一定是长方体； 直四棱柱的底面可以是任意的四边形，不一定是矩形； 符合直棱柱的定义； 中的棱柱为一般直棱柱，它的底面不一定为正方形.,答案,解析,(2)下列命题： 各个侧面是等腰三角形的四棱锥是正四棱锥； 底面是正多边形的棱锥是正棱锥； 棱锥的所有侧面可以都是直角三角形； 四棱锥的侧面
6、中最多有四个直角三角形； 棱台的侧棱长都相等. 其中正确的命题有_.(填序号),答案,解析,解析 在四棱锥PABCD中，PAPBPCPD，底面ABCD为矩形，但不一定是正方形，这样的棱锥就不是正四棱锥，因此错误； 底面是正多边形，但侧棱长不一定都相等，这样的棱锥也不一定是正棱锥，故错误； 在三棱锥PABC中，PA垂直于平面ABC，ABC90，则此三棱锥的所有侧面都是直角三角形，故正确； 在四棱锥PABCD中，PA垂直于平面ABCD，四边形ABCD为矩形，故正确； 棱台的侧棱长不一定都相等，故错误.,类型二 简单几何体中的计算问题,解答,解 作出正三棱锥如图，SO为其高，连接AO，作ODAB于点
7、D，则点D为AB的中点.,例2 正三棱锥的底面边长为3，侧棱长为 ，求正三棱锥的高.,引申探究 1.若本例条件不变，求正三棱锥的斜高.,解答,解 作出正三棱锥如图，取AB的中点E，连接SE，则SE为该正三棱锥的斜高，,2.若将本例中“正三棱锥”改为“正四棱锥”，其他条件不变，求正四棱锥的高.,解答,解 如图，在正四棱锥SABCD中， ABBCCDDA3，,反思与感悟 (1)正棱锥中直角三角形的应用 已知正棱锥如图(以正四棱锥为例)，其高为PO，底面为正方形，作PECD于点E，则PE为斜高.斜高、侧棱构成直角三角形，如图中RtPEC； 斜高、高构成直角三角形，如图中RtPOE； 侧棱、高构成直角
8、三角形，如图中RtPOC.,(2)正棱台中直角梯形的应用 已知正棱台如图(以正四棱台为例)，O1，O分别为上，下底面中心， 作O1E1B1C1于点E1，OEBC于点E，则E1E为斜高.斜高、侧棱构成直角梯形，如图中梯形E1ECC1； 斜高、高构成直角梯形，如图中梯形O1E1EO； 高、侧棱构成直角梯形，如图中梯形O1OCC1.,跟踪训练2 已知正四棱台的上、下底面面积分别为4、16，一侧面面积 为12，分别求该棱台的斜高、高、侧棱长.,解答,解 如图，设O，O分别为上、下底面的中心， 即OO为正四棱台的高，E，F分别为BC，BC的中点， EFBC，即EF为斜高. 由上底面面积为4，上底面为正方
9、形，可得 BC2； 同理，BC4. 四边形BCCB的面积为12,EF4. 过B作BHBC交BC于H， 则BHBFBE211，BHEF4.,类型三 多面体的展开图,解答,解 沿着侧棱VA把正三棱锥VABC展开在一个平面内，如图. 则AA的长即为截面AEF周长的最小值， 且AVA340120.,例3 如图，在侧棱长为 的正三棱锥VABC中， AVBBVCCVA40，过点A作截面AEF， 求截面AEF周长的最小值.,故截面AEF周长的最小值为6.,反思与感悟 求几何体表面上两点间的最小距离 (1)将几何体沿着某棱剪开后展开，画出其侧面展开图. (2)将所求曲线问题转化为平面上的线段问题. (3)结合
10、已知条件求得结果.,跟踪训练3 如图所示，在正三棱柱ABCA1B1C1中，AB2，AA12，由顶点B沿棱柱侧面(经过棱AA1)到达顶点C1，与AA1的交点记为M，则从点B经点M到C1的最短路线长为,解析 沿侧棱BB1将正三棱柱的侧面展开， 得到一个矩形BB1B1B(如图). 由侧面展开图可知，当B，M，C1三点共线时， 从点B经过M到达C1的路线最短.,解析,答案,达标检测,答案,1.观察如图所示的四个几何体，其中判断不正确的是 A.是棱柱 B.不是棱锥 C.不是棱锥 D.是棱台,1,2,3,4,5,解析,解析 结合棱柱、棱锥、棱台的定义 可知是棱柱，是棱锥，是棱台， 不是棱锥，故B错误.,2
11、.下列说法中，正确的是 A.有一个底面为多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体是棱锥 B.用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台 C.棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形 D.棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形,1,2,3,4,5,答案,解析,解析 B错，截面与底面平行时才能得棱台； C错，棱柱底面可能是平行四边形； D错，棱柱侧面的平行四边形不一定全等，如长方体.,1,2,3,3.下列说法错误的是 A.多面体至少有四个面 B.九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面为平行四边形 C.长方体、正方体都是棱柱 D.三棱柱的侧面为三角形,4,5,答
12、案,解析,解析 由于三棱柱的侧面为平行四边形，故D错.,1,2,3,4,5,4.正四棱锥SABCD的所有棱长都等于a，过不相邻的两条侧棱作截面SAC，则截面面积为_.,答案,解析,则有SA2SC2AC2， ASC90.,1,2,3,4,5,5.对棱柱而言，下列说法正确的是_.(填序号) 有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形； 所有的棱长都相等； 棱柱中至少有2个面的形状完全相同； 相邻两个面的交线叫做侧棱.,答案,解析,解析 正确，根据棱柱的定义可知； 错误，因为侧棱与底面上棱长不一定相等； 正确，根据棱柱的特征知，棱柱中上下两个底面一定是全等的，棱柱中至少有两个面的形状完全相同； 错误，因为底面和侧面的交线不是侧棱.,1.在理解的基础上，要牢记棱柱、棱锥、棱台的定义，能够根据定义判断几何体的形状. 2.(1)各种棱柱之间的关系 棱柱的分类,规律与方法,常见的几种四棱柱之间的转化关系,(2)棱柱、棱锥、棱台在结构上既有区别又有联系，具体见下表：,