1、章末复习,第三章 不等式,学习目标 1.整合知识结构，进一步巩固、深化所学知识. 2.能熟练利用不等式的性质比较大小、变形不等式、证明不等式. 3.体会“三个二次”之间的内在联系在解决问题中的作用. 4.能熟练地运用图解法解决线性规划问题. 5.会用均值不等式求解函数最值.,知识梳理,达标检测,题型探究,内容索引,知识梳理,1.“三个二次”之间的关系 所谓三个二次，指的是二次 图象及与x轴的交点；相应的一元二次 的实根；一元二次 的解集端点. 解决其中任何一个“二次”问题，要善于联想其余两个，并灵活转化. 2.均值不等式 利用均值不等式证明不等式和求最值的区别. 利用均值不等式证明不等式，只需
2、关注不等式成立的条件. 利用均值不等式求最值，需要同时关注三个限制条件：一正；二定；三相等.,函数,方程,不等式,3.规划问题 (1)规划问题的求解步骤： 把问题要求转化为约束条件； 根据约束条件作出可行域； 对目标函数变形并解释其几何意义； 移动目标函数寻找最优解； 解相关方程组求出最优解.,(2)关注非线性： 确定非线性约束条件表示的平面区域.可类比线性约束条件，以曲线定界，以特殊点定域.,思考辨析 判断正误 1.当a0时，(ax1)(x1)0 (x1)0.( ) 2.目标函数zxay，当a0，b0”.( ),题型探究,类型一 “三个二次”之间的关系,解答,例1 设不等式x22axa20的
3、解集为M，如果M1，4，求实数a的取值范围.,解 M1，4有两种情况： 其一是M，此时0， 下面分三种情况计算a的取值范围. 设f(x)x22axa2， 对方程x22axa20， 有(2a)24(a2)4(a2a2)， 当0时，1a0时，a2. 设方程f(x)0的两根为x1，x2，且x1x2， 那么Mx1，x2，M1，41x14的解集为x|xb. (1)求a，b的值；,解 由题意知，a0且1和b是方程ax23x20的两根，,解答,(2)解不等式ax2(acb)xbc0.,解 不等式ax2(acb)xbc2时，原不等式的解集为x|2xc； 当c2时，原不等式的解集为x|cx2； 当c2时，原不等
4、式的解集为.,解答,类型二 规划问题,解 如图，阴影部分(含边界)为不等式组所表示的可行域. 设l0：2xy0，l：2xyz， 则z的几何意义是直线y2xz在y轴上的截距， 显然，当直线越往上移动，对应在y轴上的截距越大，即z越大； 当直线越往下移动，对应在y轴上的截距越小，即z越小. 上下平移直线l0，可得当l0过点A(5，2)时，zmax25212； 当l0过点B(1，1)时，zmin2113.,解答,反思与感悟 (1)因为最优解与可行域的边界斜率有关，所以画可行域要精确； (2)线性目标函数的最值与纵截距不一定是增函数关系，所以要关注纵截距越大，z越大还是越小.,跟踪训练2 某人承揽一项
5、业务，需做文字标牌4个，绘画标牌5个.现有两种规格的原料，甲种规格每张3 m2，可做文字标牌1个，绘画标牌2个；乙种规格每张2 m2，可做文字标牌2个，绘画标牌1个，求两种规格的原料各用多少张才能使得总用料面积最小.,解答,解 设需要甲种原料x张，乙种原料y张， 则可做文字标牌(x2y)个，绘画标牌(2xy)个，,所用原料的总面积为z3x2y， 作出可行域如图阴影部分(含边界).,在一组平行直线3x2yz中， 经过可行域内的点A时，z取得最小值， 直线2xy5和直线x2y4的交点为A(2，1)， 即最优解为(2，1). 所以使用甲种规格原料2张，乙种规格原料1张，可使总的用料面积最小.,类型三
6、 利用均值不等式求最值,命题角度1 无附加条件最值问题,(1)求f(x)在0，)上的最大值；,解 当x0时，f(0)0；,f(x)在0，)上的最大值是25.,解答,(2)求f(x)在2，)上的最大值.,f(x)在2，)上的最大值为20.,解答,反思与感悟 利用均值不等式求最值要满足“一正、二定、三相等”，缺一不可，可以通过拼凑、换元等手段进行变形以构造定值.如“相等”的条件不具备，不能取到最值，可以考虑用函数的单调性求解.,9,答案,解析,命题角度2 有附加条件的最值问题,4,答案,解析,解析 ya1x(a0，a1)的图象恒过定点A(1，1)， 点A在直线mxny10上，mn1，,反思与感悟
7、当所给附加条件是一个等式时，常见的用法有两个：一个是用这个等式消元，化为角度1的类型；一个是直接利用该等式代入，或构造定值.,解答,达标检测,A.12 B.10 C.8 D.2,解析 画出可行域如图中阴影部分(含边界)所示，,所以zmax422110.,1,2,3,4,答案,解析,A.18 B.8 C.13 D.1,ab13.,1,2,3,4,答案,解析,A.1 B.2 C.3 D.4,当且仅当a(ab)1且ab1，,1,2,3,4,答案,解析,4.若关于x的不等式ax26xa21，,2,答案,解析,规律与方法,1.不等式的基本性质 不等式的性质是不等式这一章内容的理论基础，是不等式的证明和解
8、不等式的主要依据.因此，要熟练掌握和运用不等式的四条性质及推论. 2.一元二次不等式的求解方法 对于一元二次不等式ax2bxc0(或0，0，0，0(或0，0)的解集.,3.二元一次不等式表示的平面区域的判定 对于在直线AxByC0同一侧的所有点(x，y)，实数AxByC的符号相同，取一个特殊点(x0，y0)，根据实数Ax0By0C的正负即可判断不等式表示直线哪一侧的平面区域，可简记为“直线定界，特殊点定域”.特别地，当C0时，常取原点作为特殊点. 4.求目标函数最优解的方法 通过平移目标函数所对应的直线，可以发现取得最优解对应的点往往是可行域的顶点，于是在选择题中关于线性规划的最值问题，可采用求解方程组代入检验的方法求解. 5.运用均值不等式求最值时把握三个条件：“一正”各项为正数；“二定”“和”或“积”为定值；“三相等”等号一定能取到.这三个条件缺一不可.,