1、第三章 3.3 一元二次不等式及其解法,第2课时 一元二次不等式的应用及恒成立问题,学习目标 1.会解可化为一元二次不等式(组)的简单分式不等式. 2.能够从实际生活和生产中抽象出一元二次不等式的模型，并加以解决. 3.掌握与一元二次不等式有关的恒成立问题的解法.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,知识点一 分式不等式的解法,答案 等价；好处是将不熟悉的分式不等式化归为已经熟悉的一元二次不等式.,梳理 一般的分式不等式的同解变形法则：,f(x)g(x)0,f(x)g(x)0,g(x)0,知识点二 一元二次不等式恒成立问题,思考 x10在区间2，3上恒成立的几何意义是什么？区间2
2、，3与不等式x10的解集有什么关系？,答案 x10在区间2，3上恒成立的几何意义是函数yx1在区间2，3上的图象恒在x轴上方.区间2，3内的元素一定是不等式x10的解，反之不一定成立，故区间2，3是不等式x10的解集的子集.,梳理 一般地，“不等式f(x)0在区间a，b上恒成立”的几何意义是函数yf(x)在区间a，b上的图象全部在x轴 方.区间a，b 是不等式f(x)0的解集的 . 含参不等式的恒成立问题通常转化为分离参数求最值问题，即： 若f(x)有最大值，则kf(x)恒成立k ； 若f(x)有最小值，则kf(x)恒成立k .,上,子集,f(x)max,f(x)min,思考辨析 判断正误 1
3、.若方程ax2bxc0(a0)没有实数根，则不等式ax2bxc0的解集为R.( ) 2.不等式ax2bxc0在R上恒成立的条件是a0且b24ac0.( ) 3.若二次函数yax2bxc的图象开口向下，则不等式ax2bxc0的解集为(1，)，知a0且ab.,(axb)(x2)0的解集为(，1)(2，).,解答,跟踪训练1 解下列不等式.,解答,解答,(2x1)(x3)0，,解答,命题角度1 在R上的恒成立问题 例2 当a为何值时，不等式(a21)x2(a1)x10的解集为R.,类型二 不等式恒成立问题,解 (1)当a210即a1或1时， 由a1，得原不等式为10，恒成立.,(2)当a210即a1
4、时，,反思与感悟 对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方.另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值.,跟踪训练2 若一元二次不等式2kx2kx 0对一切实数x都成立，则k的取值范围为 A.(3，0 B.3，0) C.3，0 D.(3，0),k0，,答案,解析,命题角度2 在给定闭区间上的恒成立问题 例3 设函数f(x)mx2mx1. (1)若对于一切实数x，f(x)0恒成立，求m的取值范围；,解 要使mx2mx10恒成立， 若m0，显然10，满足题意； 若m0，,综上，m的
5、取值范围是(4，0.,解答,(2)对于x1，3，f(x)m5恒成立，求m的取值范围.,解答,解 方法一 要使f(x)0时，g(x)在1，3上是增函数， g(x)maxg(3)7m60，,当m0时，60恒成立； 当m0时，g(x)在1，3上是减函数，,g(x)maxg(1)m60，得m6， m0.,方法二 当x1，3时，f(x)m5恒成立， 即当x1，3时，m(x2x1)60恒成立.,又m(x2x1)60，,引申探究 把例3(2)改为：对于任意m1，3，f(x)m5恒成立，求实数x的取值范围.,解答,解 f(x)m5， 即mx2mx1m5，m(x2x1)60. 设g(m)m(x2x1)6.,g(
6、m)在1，3上为增函数， 要使g(m)0在1，3上恒成立，只需g(m)maxg(3)0， 即3(x2x1)60，x2x10，,反思与感悟 有关不等式恒成立求参数的取值范围，通常处理方法有两种： (1)考虑能否进行参变量分离，若能，则构造关于变量的函数，转化为求函数的最大(小)值，从而建立参变量的不等式； (2)若参变量不能分离，则应构造关于变量的函数(如一次函数、二次函数)，并结合图象建立参变量的不等式求解.,跟踪训练3 当x(1，2)时，不等式x2mx40恒成立，则m的取值范围是 .,解析 构造函数f(x)x2mx4，x1，2， 则f(x)在1，2上的最大值为f(1)或f(2). 由于当x(
7、1，2)时，不等式x2mx40)，对应的二次函数为f(x)ax2bxc(a0). (2)结合二次函数开口方向研究对称轴，判别式b24ac. (3)确定区间端点值f(a)，f(b)的正负.,跟踪训练4 已知x22ax2a10的两个根均大于1，求a的取值范围.,解 设f(x)x22ax2a1， 则yf(x)的开口方向向上，且对称轴为xa，,解答,达标检测,1.若关于x的方程x2(a21)xa20的一根比1小且另一根比1大，则a的取值范围是 A.(1，1) B.(，1)(1，) C.(2，1) D.(，2)(1，),解析 令f(x)x2(a21)xa2， 依题意得f(1)0，即1a21a20， a2a20， 2a1.,1,2,3,4,答案,解析,2.若产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y3 00020x0.1x2(0x0恒成立时，k的取值范围为 .,1,2,3,4,解析 由题意知0， 即14k2， 原不等式的解集为x|x1或x2.,1,2,3,4,解答,(6x4)(4x3)f(x)恒成立af(x)max；(2)af(x)恒成立af(x)min. 3.解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型，选择其中起关键作用的未知量为x，用x来表示其他未知量，根据题意，列出不等关系再求解.,