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人教B版高中数学必修五课件:3.3 一元二次不等式及其解法 第2课时 一元二次不等式的应用及恒成立问题

1、第三章 3.3 一元二次不等式及其解法,第2课时 一元二次不等式的应用及恒成立问题,学习目标 1.会解可化为一元二次不等式(组)的简单分式不等式. 2.能够从实际生活和生产中抽象出一元二次不等式的模型,并加以解决. 3.掌握与一元二次不等式有关的恒成立问题的解法.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,知识点一 分式不等式的解法,答案 等价;好处是将不熟悉的分式不等式化归为已经熟悉的一元二次不等式.,梳理 一般的分式不等式的同解变形法则:,f(x)g(x)0,f(x)g(x)0,g(x)0,知识点二 一元二次不等式恒成立问题,思考 x10在区间2,3上恒成立的几何意义是什么?区间2

2、,3与不等式x10的解集有什么关系?,答案 x10在区间2,3上恒成立的几何意义是函数yx1在区间2,3上的图象恒在x轴上方.区间2,3内的元素一定是不等式x10的解,反之不一定成立,故区间2,3是不等式x10的解集的子集.,梳理 一般地,“不等式f(x)0在区间a,b上恒成立”的几何意义是函数yf(x)在区间a,b上的图象全部在x轴 方.区间a,b 是不等式f(x)0的解集的 . 含参不等式的恒成立问题通常转化为分离参数求最值问题,即: 若f(x)有最大值,则kf(x)恒成立k ; 若f(x)有最小值,则kf(x)恒成立k .,上,子集,f(x)max,f(x)min,思考辨析 判断正误 1

3、.若方程ax2bxc0(a0)没有实数根,则不等式ax2bxc0的解集为R.( ) 2.不等式ax2bxc0在R上恒成立的条件是a0且b24ac0.( ) 3.若二次函数yax2bxc的图象开口向下,则不等式ax2bxc0的解集为(1,),知a0且ab.,(axb)(x2)0的解集为(,1)(2,).,解答,跟踪训练1 解下列不等式.,解答,解答,(2x1)(x3)0,,解答,命题角度1 在R上的恒成立问题 例2 当a为何值时,不等式(a21)x2(a1)x10的解集为R.,类型二 不等式恒成立问题,解 (1)当a210即a1或1时, 由a1,得原不等式为10,恒成立.,(2)当a210即a1

4、时,,反思与感悟 对于一元二次不等式恒成立问题,恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方,恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方.另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值.,跟踪训练2 若一元二次不等式2kx2kx 0对一切实数x都成立,则k的取值范围为 A.(3,0 B.3,0) C.3,0 D.(3,0),k0,,答案,解析,命题角度2 在给定闭区间上的恒成立问题 例3 设函数f(x)mx2mx1. (1)若对于一切实数x,f(x)0恒成立,求m的取值范围;,解 要使mx2mx10恒成立, 若m0,显然10,满足题意; 若m0,,综上,m的

5、取值范围是(4,0.,解答,(2)对于x1,3,f(x)m5恒成立,求m的取值范围.,解答,解 方法一 要使f(x)0时,g(x)在1,3上是增函数, g(x)maxg(3)7m60,,当m0时,60恒成立; 当m0时,g(x)在1,3上是减函数,,g(x)maxg(1)m60,得m6, m0.,方法二 当x1,3时,f(x)m5恒成立, 即当x1,3时,m(x2x1)60恒成立.,又m(x2x1)60,,引申探究 把例3(2)改为:对于任意m1,3,f(x)m5恒成立,求实数x的取值范围.,解答,解 f(x)m5, 即mx2mx1m5,m(x2x1)60. 设g(m)m(x2x1)6.,g(

6、m)在1,3上为增函数, 要使g(m)0在1,3上恒成立,只需g(m)maxg(3)0, 即3(x2x1)60,x2x10,,反思与感悟 有关不等式恒成立求参数的取值范围,通常处理方法有两种: (1)考虑能否进行参变量分离,若能,则构造关于变量的函数,转化为求函数的最大(小)值,从而建立参变量的不等式; (2)若参变量不能分离,则应构造关于变量的函数(如一次函数、二次函数),并结合图象建立参变量的不等式求解.,跟踪训练3 当x(1,2)时,不等式x2mx40恒成立,则m的取值范围是 .,解析 构造函数f(x)x2mx4,x1,2, 则f(x)在1,2上的最大值为f(1)或f(2). 由于当x(

7、1,2)时,不等式x2mx40),对应的二次函数为f(x)ax2bxc(a0). (2)结合二次函数开口方向研究对称轴,判别式b24ac. (3)确定区间端点值f(a),f(b)的正负.,跟踪训练4 已知x22ax2a10的两个根均大于1,求a的取值范围.,解 设f(x)x22ax2a1, 则yf(x)的开口方向向上,且对称轴为xa,,解答,达标检测,1.若关于x的方程x2(a21)xa20的一根比1小且另一根比1大,则a的取值范围是 A.(1,1) B.(,1)(1,) C.(2,1) D.(,2)(1,),解析 令f(x)x2(a21)xa2, 依题意得f(1)0,即1a21a20, a2a20, 2a1.,1,2,3,4,答案,解析,2.若产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y3 00020x0.1x2(0x0恒成立时,k的取值范围为 .,1,2,3,4,解析 由题意知0, 即14k2, 原不等式的解集为x|x1或x2.,1,2,3,4,解答,(6x4)(4x3)f(x)恒成立af(x)max;(2)af(x)恒成立af(x)min. 3.解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型,选择其中起关键作用的未知量为x,用x来表示其他未知量,根据题意,列出不等关系再求解.,