1、第三章 3.2 均值不等式,第2课时 均值不等式的应用,学习目标 1.熟练掌握均值不等式及变形的应用. 2.会用均值不等式解决简单的最大(小)值问题. 3.能够运用均值不等式解决生活中的应用问题.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,知识点一 均值不等式及变形,梳理 以下是均值不等式的常见变形，试用不等号连接，并说明等号成立的条件.,当且仅当 时，以上三个等号同时成立.,ab,知识点二 用均值不等式求最值,思考 因为x212x，当且仅当x1时取等号.所以当x1时，(x21)min2. 以上说法对吗？为什么？,答案 错.显然(x21)min1. x212x，当且仅当x1时取等号.仅
2、说明抛物线yx21恒在直线y2x上方，仅在x1时有公共点. 使用均值不等式求最值，不等式两端必须有一端是定值.如果都不是定值，可能出错.,梳理 均值不等式求最值的条件： (1)x，y必须是 ； (2)求积xy的最大值时，应看和xy是否为 ；求和xy的最小值时，应看积xy是否为 ，即“和定积大，积定和小”. (3)等号成立的条件是否满足.,正数,定值,定值,思考辨析 判断正误,题型探究,类型一 均值不等式与最值,解答,解答,解答,解 x2，x20，,解答,即x4，y12时，不等式取等号. 故当x4，y12时，(xy)min16.,当且仅当x1y93，即x4，y12时不等式取等号， 故当x4，y1
3、2时，(xy)min16.,反思与感悟 在利用均值不等式求最值时要注意三点：一是各项均为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值(恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧)；三是考虑等号成立的条件是否具备.,解答,解 x0，,f(x)的最小值为12.,解答,解 x3，x30，y0，且2x8yxy，求xy的最小值.,解答,解 方法一 由2x8yxy0，得y(x8)2x.,xy的最小值是18.,xy的最小值是18.,类型二 均值不等式在实际问题中的应用,命题角度1 几何问题的最值 例2 (1)用篱笆围一个面积为100 m2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少
4、时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？,当且仅当xy10时等号成立. 所以这个矩形的长、宽都为10 m时， 所用篱笆最短，最短篱笆为40 m.,解 设矩形菜园的长为x m，宽为y m， 则xy100，篱笆的长为2(xy) m.,解答,(2)一段长为36 m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？,当且仅当xy9时，等号成立. 所以这个矩形的长、宽都为9 m时，菜园的面积最大，最大面积为81 m2.,解 设矩形菜园的长为x m，宽为y m， 则2(xy)36，xy18，矩形菜园的面积为xy m2.,解答,反思与感悟 利用均值不等式解决实际问题时，一般是
5、先建立关于目标量的函数关系，再利用均值不等式求解目标函数的最大(小)值及取最大(小)值的条件.,跟踪训练2 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4 800 m3，深为3 m，如果池底每1 m2的造价为150元，池壁每1 m2的造价为120元，问怎样设计水池才能使总造价最低？最低总造价是多少？,解答,解 设水池底面一边的长度为x m，,又设水池总造价为y元，根据题意，得,所以水池底面为正方形且边长为40 m时总造价最低，最低总造价为297 600元.,命题角度2 生活中的最优化问题 例3 某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格为1 800元，面粉的保管费及其他费用为
6、平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元.求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？,解答,解 设该厂每隔x天购买一次面粉，其购买量为6x吨. 由题意可知，面粉的保管及其他费用为 36x6(x1)6(x2)619x(x1). 设平均每天所支付的总费用为y元，,所以该厂每10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少.,引申探究 若受车辆限制，该厂至少15天才能去购买一次面粉，则该厂应多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的费用最少？,解答,解 设x1，x215，)，且x1x2.,15x1x2， x1x20，x1x2225，,当x15，即15天购买一次面粉，平均
7、每天支付的费用最少.,反思与感悟 应用题，先弄清题意(审题)，建立数学模型(列式)，再用所掌握的数学知识解决问题(求解)，最后要回应题意下结论(作答).使用均值不等式求最值，要注意验证等号是否成立，若等号不成立，可考虑利用函数单调性求解.,解析 设这批货物从A市全部运到B市的时间为t，则,8,所以这批货物全部运到B市，最快需要8小时.,答案,解析,达标检测,1.设x0，y0，且xy18，则xy的最大值为 A.80 B.77 C.81 D.82,1,2,3,4,解析 x0，y0，,答案,解析,当且仅当xy9时，(xy)max81.,2.已知a(x1，2)，b(4，y)(x，y为正数)，若ab，则
8、xy的最大值是,1,2,3,4,解析 ab，ab0， 4(x1)2y0，2xy2，,当且仅当2xy1时，等号成立.,答案,解析,A.16 B.9 C.12 D.15,1,2,3,4,解析 因为x，y为正数，,答案,解析,当且仅当y3x时，等号成立.,1,2,3,4,1,答案,解析,规律与方法,1.用均值不等式求最值 (1)利用均值不等式，通过恒等变形，以及配凑，造就“和”或“积”为定值，从而求得函数最大值或最小值.这种方法在应用的过程中要把握下列三个条件：“一正”各项为正数；“二定”“和”或“积”为定值；“三相等”等号一定能取到.这三个条件缺一不可. (2)利用均值不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创建应用均值不等式的条件.,(3)在求最值的一些问题中，有时看起来可以运用均值不等式求最值，但由于其中的等号取不到，所以运用均值不等式得到的结果往往是错误的，这时通常可以借助函数yx (p0)的单调性求得函数的最值. 2.求解应用题的方法与步骤： (1)审题；(2)建模(列式)；(3)解模；(4)作答.,