1、第三章 3.2 均值不等式,第1课时 均值不等式,学习目标 1.理解均值不等式的内容及证明. 2.能熟练运用均值不等式来比较两个实数的大小. 3.能初步运用均值不等式证明简单的不等式.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,知识点一 算术平均值与几何平均值的概念,思考 如图，AB是圆O的直径，点Q是AB上任一点，AQa，BQb，过点Q作PQ垂直于AB且交圆O于点P，连接AP，PB.如何用a，b表示PO，PQ的长度？,算术,几何,知识点二 均值定理及其常见推论,当且仅当ab时，等号成立，,当且仅当ab时，等号成立.,梳理 1.均值定理,均值,均值定理可叙述为：两个正实数的算术平均值大
2、于或等于它的几何平均值. 2.常见推论,(3)a2b2c2abbcca(a，b，cR).,思考辨析 判断正误,题型探究,类型一 常见推论的证明,例1 证明不等式a2b22ab(a，bR).,证明 a2b22ab(ab)20， a2b22ab(当且仅当ab时，等号成立).,证明,引申探究,证明 由例1，得a2b22ab， 2(a2b2)a2b22ab，,证明,当且仅当ab时，取等号.,反思与感悟 使用作差法与不等式性质是证明不等式中常用的方法.,跟踪训练1 已知a，b，c为任意的实数，求证：a2b2c2abbcca.,证明 a2b22ab；b2c22bc；c2a22ca， 2(a2b2c2)2(
3、abbcca)， 即a2b2c2abbcca， 当且仅当abc时，等号成立.,证明,类型二 用均值不等式证明不等式,例2 已知x，y都是正数.,当且仅当xy时，等号成立.,证明,证明 x，y都是正数，,(2)(xy)(x2y2)(x3y3)8x3y3.,即(xy)(x2y2)(x3y3)8x3y3， 当且仅当xy时，等号成立.,证明,证明 a，b，c都是正实数，,跟踪训练2 已知a，b，c都是正实数，求证：(ab)(bc)(ca)8abc.,即(ab)(bc)(ca)8abc， 当且仅当abc时，等号成立.,证明,类型三 用均值不等式比较大小,解答,解 因为a2b22ab，a2c22ac，b2
4、c22bc， 所以2(a2b2c2)2ab2ac2bc， 所以a2b2c2abacbc. 式两边分别加上a2b2c2得，,3(abbcca)a2b2c22ab2bc2ac(abc)21，,A.RPQ B.PQR C.QPR D.PRQ,答案,解析,解析 ab1， lg alg b0，,综合，有PQR.,达标检测,1,2,3,4,解析 a0，b0，,答案,解析,当且仅当ab1时，等号成立.,2.若0a0，b0，给出下列不等式：,1,2,3,4,其中恒成立的是 .(填序号),答案,解析,当a3时，a296a，故不恒成立. 综上，恒成立的是.,1,2,3,4,规律与方法,2. 在利用均值不等式证明的过程中，常需要把数、式合理地拆成两项或多项或把恒等式变形配凑成适当的数、式，以便于利用均值不等式.,