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人教B版高中数学必修五课件:2.3.2 等比数列的前n项和(一)

1、第二章 2.3 等比数列,2.3.2 等比数列的前n项和(一),学习目标 1.掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路. 2.会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,知识点一 等比数列的前n项和公式,思考 对于S641248262263,用2乘以等式的两边可得2S64248262263264,对这两个式子作怎样的运算能解出S64?,答案 比较两式易知,两式相减能消去同类项,解出S64,,梳理 设等比数列an的首项是a1,公比是q,前n项和Sn可用下面的“错位相减法”求得. Sna1a1qa1q2a1qn1. 则qSna1qa

2、1q2a1qn1a1qn. 由,得(1q)Sna1a1qn.,当q1时,由于a1a2an,所以Snna1. 结合通项公式可得等比数列的前n项和公式:,知识点二 等比数列的前n项和公式的特征,思考 要求等比数列前8项的和:,梳理 一般地,使用等比数列求和公式时需注意: (1) 一定不要忽略q1的情况;,(3) 在通项公式和前n项和公式中共出现了五个量:a1,n,q,an,Sn,知道其中任意三个,可求其余两个.,思考辨析 判断正误 1.求等比数列an的前n项和时可直接套用公式Sn 来求.( )2.若首项为a的数列既是等差数列又是等比数列,则其前n项和为Snna. ( ) 3.若某数列的前n项和公式

3、为Snaqna(a0,q0且q1,nN),则此数列一定是等比数列.( ),题型探究,类型一 等比数列的前n项和公式的应用,命题角度1 前n项和公式的直接应用 例1 根据题干中的条件,求相应的等比数列an的前n项和Sn. (1)a13,q2,n6;,解 a13,q2,n6,,解答,解答,反思与感悟 求等比数列前n项和,要确定首项、公比或首项、末项、公比,应特别注意q1是否成立.,跟踪训练1 若等比数列an满足a2a420,a3a540,则公比q ;前n项和Sn .,解析 设等比数列的公比为q, a2a420,a3a540, 20q40,且a1qa1q320, 解得q2,且a12.,2,2n+12

4、,答案,解析,命题角度2 等比数列基本量的计算 例2 在等比数列an中,公比为q,前n项和为Sn.,解答,,得1q39,q2.,解答,反思与感悟 (1)应用等比数列的前n项和公式时,首先要对公比q1或q1进行判断,若两种情况都有可能,则要分类讨论.,跟踪训练2 (1)在等比数列an中,S230,S3155,求Sn.,解答,方法二 若q1,则S3S232, 而事实上,S3S2316,故q1.,(2)在等比数列an中,a12,S36,求a3和q.,解 由题意,得若q1,则S33a16,符合题意. 此时,q1,a3a12. 若q1,则由等比数列的前n项和公式,,解得q2. 此时,a3a1q22(2)

5、28. 综上所述,q1,a32或q2,a38.,解答,类型二 等比数列前n项和的实际应用,例3 某地本年度旅游业收入估计为400万元,由于该地出台了一系列措施,进一步发展旅游业,预计今后旅游业的收入每年会比上一年增加 . (1)求n年内旅游业的总收入;,解答,(2)试估计大约几年后,旅游业的总收入超过8 000万元.,大约第9年后,旅游业总收入超过8 000万元.,解答,反思与感悟 解决此类问题的关键是建立等比数列模型及弄清数列的项数,所谓复利计息,即把上期的本利和作为下一期本金,在计算时每一期本金的数额是不同的,复利的计算公式为SP(1r)n,其中P代表本金,n代表存期,r代表利率,S代表本

6、利和.,跟踪训练3 一个热气球在第一分钟上升了25 m的高度,在以后的每一分钟里,它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的80%.这个热气球上升的高度能超过125 m吗?,解 用an表示热气球在第n分钟上升的高度,,热气球在前n分钟内上升的总高度为,故这个热气球上升的高度不可能超过125 m.,解答,达标检测,1.等比数列1,x,x2,x3,的前n项和Sn等于,解析 当x1时,Snn;,1,2,3,4,答案,解析,解析 方法一 由等比数列的定义,,1,2,3,4,答案,解析,1,2,3,4,3.等比数列an的各项都是正数,若a181,a516,则它的前5项的和是 A.179 B.211 C.2

7、43 D.275,答案,解析,1,2,3,4,4.某厂去年产值为a,计划在5年内每年比上一年产值增长10%,从今年起5年内,该厂的总产值为 .,解析 去年产值为a,今年起5年内各年的产值分别为1.1a,1.12a,1.13a,1.14a,1.15a. 1.1a1.12a1.13a1.14a1.15a11a(1.151).,答案,解析,11a(1.151),规律与方法,1.在等比数列的通项公式和前n项和公式中,共涉及五个量:a1,an,n,q,Sn,其中首项a1和公比q为基本量,且“知三求二”. 2.前n项和公式的应用中,注意前n项和公式要分类讨论,即当q1和q1时是不同的公式形式,不可忽略q1的情况. 3.一般地,如果数列an是等差数列,bn是等比数列且公比为q,求数列anbn的前n项和时,可采用错位相减的方法求和.,