1、第二章 2.3.1 等比数列,第2课时 等比数列的性质,学习目标 1.灵活应用等比数列的定义及通项公式. 2.熟悉等比数列的有关性质. 3.系统了解判断数列是否成等比数列的方法.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,知识点一 等比数列通项公式的推广,思考 我们曾经把等差数列的通项公式做过如下变形：ana1(n1)dam(nm)d. 等比数列也有类似变形吗？,所以anamqnm(n，mN).,qnm,知识点二 由等比数列衍生的等比数列,思考 等比数列an的前4项为1，2，4，8，下列判断正确的是,答案 由定义可判断出(1)，(3)，(4)正确.,梳理 (1)在等比数列an中按序号从
2、小到大取出若干项： ，若k1，k2，k3，kn，成等差数列，那么 是等比数列.,知识点三 等比数列的性质,答案 a5a1q4，a9a1q8，,梳理 一般地，在等比数列an中，若mnst，则有amanasat(m，n，s，tN). 若mn2k，则aman (m，n，kN).,思考辨析 判断正误 1.有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积.( ) 2.当q1时，等比数列an为递增数列.( ) 3.当q1时，等比数列an为常数列.( ) 4.当a10，且a2a42a3a5a4a636，求a3a5的值；,解 a2a42a3a5a4a636，,(a3a5)236， 又an0， a
3、3a56.,解答,(2)若a1a2a37，a1a2a38，求数列an的通项公式.,解答,an2n1或an23n.,反思与感悟 在等比数列的有关运算中，常常涉及到次数较高的指数运算.若按常规解法，往往是建立a1，q的方程组，这样解起来很麻烦，通过本例可以看出：结合等比数列的性质进行整体变换，会起到化繁为简的效果.,跟踪训练1 (1)在递增等比数列an中，a1a964，a3a720，求a11的值.,解 在等比数列an中，a1a9a3a7， 由已知可得a3a764且a3a720.,an是递增等比数列，a7a3. 取a34，a716， 164q4，q44. a11a7q416464.,解答,(2)已知
4、数列an成等比数列.若a3a4a58，求a2a3a4a5a6的值.,解答,解得a42.,类型二 灵活设项求解等比数列,例2 有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数.,解答,所以当a4，d4时，所求四个数为0，4，8，16； 当a9，d6时，所求四个数为15，9，3，1. 故所求四个数为0，4，8，16或15，9，3，1.,当a8，q2时，所求四个数为0，4，8，16；,故所求四个数为0，4，8，16或15，9，3，1.,跟踪训练2 三个数成等比数列，其积为512，如果第一个数与第三个数各减去2，则这三个数
5、成等差数列，求这三个数.,2q25q20，,这三个数为4，8，16或16，8，4.,解答,类型三 等差数列与等比数列的综合应用,(1)若b1，b2，b8成等比数列，试求m的值；,解 当n2时，anSnSn1n2(n1)22n1， 当n1时，a1S11，符合上式. 数列an的通项公式为an2n1(nN).,b1，b2，b8成等比数列，,解得m9或m0(舍去)，故m9.,解答,(2)是否存在m，使得数列bn中存在某项bt满足b1，b4，bt(tN，t5)成等差数列？若存在，请指出符合题意的m的个数；若不存在，请说明理由.,解 若存在m，使b1，b4，bt成等差数列，则2b4b1bt，,由于m，tN
6、且t5， 令m536，18，12，9，6，4，3，2，1， 即m41，23，17，14，11，9，8，7，6时，t均为大于5的整数. 存在符合题意的m值，且共有9个数.,解答,反思与感悟 (1)在等差数列与等比数列的综合问题中，特别要注意它们的区别，避免用错公式. (2)方程思想的应用往往是破题的关键.,跟踪训练3 已知an是首项为19，公差为2的等差数列，Sn为an的前n项和. (1)求通项公式an及Sn；,解 因为an是首项为19，公差为2的等差数列，,即an2n21(nN)，Snn220n(nN).,解答,(2)设bnan是首项为1，公比为3的等比数列，求数列bn的通项公式.,解 因为b
7、nan是首项为1，公比为3的等比数列， 所以bnan3n1， 即bn3n1an3n12n21(nN).,解答,达标检测,1.在等比数列an中，a28，a564，则公比q为 A.2 B.3 C.4 D.8,1,2,3,4,解析 由a5a2q3，得q38， 所以q2.,答案,解析,1,2,3,4,2.在等比数列an中，an0，且a1a1027，则log3a2log3a9等于 A.9 B.6 C.3 D.2,答案,解析,解析 因为a2a9a1a1027， 所以log3a2log3a9log3273.,1,2,3,4,3.在1与2之间插入6个正数，使这8个数成等比数列，则插入的6个数的积为 .,解析 设这8个数组成的等比数列为an，则a11，a82. 插入的6个数的积为a2a3a4a5a6a7(a2a7)(a3a6)(a4a5)(a1a8)3238.,答案,解析,8,4.已知an2n3n，判断数列an是不是等比数列？,解 不是等比数列. a121315，a2223213，a3233335， a1a3 ， 数列an不是等比数列.,1,2,3,4,解答,规律与方法,1.解题时，首先考虑通式通法，而不是花费大量时间找简便方法. 2.所谓通式通法，指应用通项公式、前n项和公式、等差中项、等比中项等列出方程(组)，求出基本量. 3.巧用等比数列的性质，减少计算量，这一点在解题中也非常重要.,