1、第二章 2.2 等差数列,2.2.2 等差数列的前n项和(一),学习目标 1.掌握等差数列前n项和公式及其获取思路. 2.熟知公式的推导过程，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思. 3.熟练掌握等差数列的五个量a1，d，n，an，Sn的关系，能够由其中三个求另外两个.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,知识点一 等差数列的前n项和公式,思考 高斯用123100(1100)(299)(5051)10150迅速求出了等差数列前100项的和.但如果是求123n，不知道共有奇数项还是偶数项怎么办？,答案 不知道共有奇数项还是偶数项导致不能配对.但我们可以采用倒序相加来回避这
2、个问题：设Sn123(n1)n， 又Snn(n1)(n2)21， 2Sn(1n)2(n1)(n1)2(n1)， 2Snn(n1)，,梳理 “倒序相加法”可以推广到一般等差数列求前n项和，其方法如下： Sna1a2a3an1an a1(a1d)(a12d)a1(n2)da1(n1)d； Snanan1an2a2a1 an(and)(an2d)an(n2)dan(n1)d. 两式相加，得2Snn(a1an)，,根据等差数列的通项公式ana1(n1)d，代入上式可得Snna1 .,知识点二 等差数列的前n项和公式的特征,思考1 在等差数列an中，若已知a27，能求出前3项和S3吗？,梳理 对于等差数
3、列an的前n项和Sn，有下面几种常见变形：,知识点三 等差数列的前n项和公式的性质,思考 如果an是等差数列，那么a1a2a10，a11a12a20，a21a22a30是等差数列吗？,答案 (a11a12a20)(a1a2a10) (a11a1)(a12a2)(a20a10) 100d，类似可得(a21a22a30)(a11a12a20)100d. a1a2a10，a11a12a20，a21a22a30是等差数列.,梳理 (1)Sm，S2m，S3m分别为等差数列an的前m项的和，前2m项的和，前3m项的和，则Sm，S2mSm，S3mS2m也成等差数列，公差为m2d.,(3)若等差数列的项数为2
4、n1(nN)，,n(anan1),nd,(2n1)an,思考辨析 判断正误 1.数列的前n项和就是指从数列的第1项a1起，一直到第n项an所有项的和. ( ) 2.anSnSn1(n2)化简后关于n与an的函数式即为数列an的通项公式. ( ),题型探究,类型一 等差数列的前n项和公式的应用,命题角度1 Sn中基本量的计算 例1 已知一个等差数列an的前10项的和是310，前20项的和是1 220，由这些条件能确定这个等差数列的前n项和的公式吗？,解答,解 方法一 由题意，知S10310，S201 220，,得a20a1060，,10d60， d6，a14.,反思与感悟 (1)在解决与等差数列
5、的前n项和有关的问题时，要注意方程思想和整体思想的运用. (2)构成等差数列的前n项和公式的元素有a1，d，n，an，Sn，知其三能求另外两个.,跟踪训练1 在等差数列an中.,解得n15.,解答,(2)a14，S8172，求a8和d；,解得a839， 又a84(81)d39， d5.,解答,(3)已知d2，an11，Sn35，求a1和n.,解答,命题角度2 实际应用 例2 某人用分期付款的方式购买一件家电，价格为1 150元，购买当天先付150元，以后每月的这一天都交付50元，并加付欠款利息，月利率为1%.若交付150元后的一个月开始算分期付款的第一个月，则分期付款的第10个月该交付多少钱？
6、全部贷款付清后，买这件家电实际花费多少钱？,解答,解 设每次交款数额依次为a1，a2，a20，则 a1501 0001%60(元)， a250(1 00050)1%59.5(元)， ， a1050(1 000950)1%55.5(元)， 即第10个月应付款55.5元. 由于an是以60为首项，以0.5为公差的等差数列，,即全部付清后实际付款1 1051501 255(元).,反思与感悟 建立等差数列的模型时，要根据题意找准首项、公差和项数或者首项、末项和项数.,跟踪训练2 甲，乙两物体分别从相距70 m的两处同时相向运动，甲第1分钟走2 m，以后每分钟比前1分钟多走1 m，乙每分钟走5 m.
7、(1)甲，乙开始运动后几分钟第一次相遇？,解 设开始运动n分钟后第一次相遇，依题意，,解答,整理得n213n1400. 解得n7或n20(舍去). 所以第一次相遇是在开始运动后7分钟.,(2)如果甲，乙到达对方起点后立即返回，甲继续每分钟比前1分钟多走1 m，乙继续每分钟走5 m，那么开始运动几分钟后第二次相遇？,解 设开始运动m分钟后第二次相遇，依题意，,解答,整理得m213m4200. 解得m15或m28(舍去). 所以第二次相遇是在开始运动后15分钟.,类型二 等差数列的前n项和性质的应用,例3 (1)等差数列an的前m项的和为30，前2m项的和为100，求数列an的前3m项的和S3m；
8、,解 方法一 在等差数列中，Sm，S2mSm，S3mS2m成等差数列. 30，70，S3m100成等差数列. 27030(S3m100)，S3m210.,即S3m3(S2mSm)3(10030)210.,解答,解答,反思与感悟 等差数列的前n项和Sn的有关性质在解题过程中，如果运用得当可以达到化繁为简、化难为易、事半功倍的效果.,解答,解 设等差数列an的公差为d，,S77，S1575，,达标检测,1.在等差数列an中，若S10120，则a1a10的值是 A.12 B.24 C.36 D.48,1,2,3,4,答案,解析,1,2,3,4,2.记等差数列的前n项和为Sn，若S24，S420，则该
9、数列的公差d等于 A.2 B.3 C.6 D.7,答案,解析,方法二 由S4S2a3a4a12da22dS24d， 所以20444d，解得d3.,3.在一个等差数列中，已知a1010，则S19 .,1,2,3,4,190,答案,解析,4.已知在等差数列an中，,整理得n27n600， 解得n12或n5(舍去)，,n12，ana124.,1,2,3,4,解答,(2)a11，an512，Sn1 022，求d.,解得n4. 又由ana1(n1)d，即5121(41)d， 解得d171.,1,2,3,4,解答,规律与方法,1.求等差数列的前n项和公式的方法称为倒序相加法，在某些数列求和中也可能用到. 2.等差数列的两个求和公式中，一共涉及a1，an，Sn，n，d五个量，若已知其中三个量，通过方程思想可求另外两个量.在利用求和公式时，要注意整体思想的应用，注意下列结论的运用： 若mnpq，则anamapaq(n，m，p，qN)；若mn2p，则anam2ap. 3.本节涉及的数学思想：方程思想，函数思想，整体思想，分类讨论思想.,