1、第二章 2.2 等差数列,2.2.2 等差数列的前n项和(二),学习目标 1.进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式. 2.会解等差数列前n项和的最值问题. 3.理解an与Sn的关系，能根据Sn求an.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,知识点一 数列中an与Sn的关系,思考 已知数列an的前n项和Snn2，怎样求a1，an?,答案 a1S11； 当n2时，anSnSn1n2(n1)22n1， 又n1时也适合上式， 所以an2n1，nN.,梳理 对任意数列an，Sn与an的关系可以表示为,S1,SnSn1,知识点二 等差数列前n项和的最值,答案 由二次函数的性质可以得出
2、： 当a10，d0时，Sn先减后增，有最小值； 当a10，d0，d0，则数列的前面若干项为负项(或0)，所以将这些项相加即得Sn的最小值. (3)若a10，d0，则Sn是递增数列，S1是Sn的最小值. (4)若a10，d0时，Sn有最小值，当d1，nN)，,解答,引申探究,解 当n2时，anSnSn1,解答,反思与感悟 已知前n项和Sn求通项an，先由n1时，a1S1求得a1，再由n2时，anSnSn1求得an，最后验证a1是否符合an，若符合则统一用一个解析式表示.,跟踪训练1 (1)已知数列an的前n项和Sn3n，求an.,解 当n1时，a1S13； 当n2时，anSnSn13n3n123
3、n1. 当n1时，代入an23n1得a123.,解答,解 当n2时，bnSnSn1，,(bnbn1)(bnbn12)0， bnbn10，bnbn12(n2).,bn为以b1为首项，以2为公差的等差数列， bn1(n1)22n1.,解答,类型二 等差数列的前n项和的最值问题,例2 在等差数列an中，a125，S17S9，求Sn的最大值.,解答,解得d2，,当n13时，Sn有最大值169. 方法二 先求出d2，a1250，,当n13时，Sn有最大值169.,方法三 先求出d2， 由S17S9，得a10a11a170， 而a10a17a11a16a12a15a13a14， 故a13a140.d20，
4、 a130，a140， 故n13时，Sn有最大值169.,反思与感悟 求等差数列的前n项和的最值常用两种方法 (1)等差数列的前n项和SnAn2Bn，通过配方或根据二次函数求最值的方法求得.但要注意n为正整数. (2)在等差数列中有关Sn的最值问题除了借助二次函数图象求解，还常用邻项变量法来求解.,跟踪训练2 (1)在等差数列an中，an2n14，试用两种方法求该数列的前n项和Sn的最小值.,解 方法一 an2n14，a112，d2. a1a2a6a70a8a90， 故当n7时，Sn最大，即前7项和最大.,解答,类型三 求等差数列的前n项的绝对值之和,例3 若等差数列an的首项a113，d4，
5、记Tn|a1|a2|an|，求Tn.,解 a113，d4，an174n. 当n4时，Tn|a1|a2|an|a1a2an,当n5时，Tn|a1|a2|an|(a1a2a3a4)(a5a6an),解答,反思与感悟 求等差数列an的前n项的绝对值之和，根据绝对值的意义，应首先分清这个数列的哪些项是负的，哪些项是非负的，然后再分段求出前n项的绝对值之和.,跟踪训练3 已知数列an中，Snn210n，数列bn的每一项都满足bn|an|，求数列bn的前n项和Tn的表达式.,解 由Snn210n得anSnSn1112n(n2，nN). 验证a19也符合上式. an112n，nN. 当n5时，an0，此时T
6、nSnn210n； 当n5时，an0，此时Tn2S5Snn210n50.,解答,达标检测,1.已知数列an的前n项和Snn2n，则an等于 A.4n2 B.n2 C.2n1 D.2n,1,2,3,4,解析 当n1时，a1S12， 当n2时，anSnSn12n， 又因为a12符合an2n， 所以an2n.,答案,解析,1,2,3,4,2.已知数列an为等差数列，它的前n项和为Sn，若Sn(n1)2，则的值是 A.2 B.1 C.0 D.1,答案,解析,解析 等差数列的前n项和Sn的形式为Snan2bn， 故1.,3.首项为正数的等差数列，前n项和为Sn，且S3S8，当n 时，Sn取到最大值.,1
7、,2,3,4,5或6,解析 S3S8， S8S3a4a5a6a7a85a60， a60. a10， a1a2a3a4a5a60，a70. 故当n5或6时，Sn最大.,答案,解析,4.已知数列an的前n项和Sn32n，求an.,解 当n1时，a1S1325. 当n2时，Sn132n1， 又Sn32n， anSnSn12n2n12n1. 又当n1时，a152111，,1,2,3,4,解答,规律与方法,1.因为anSnSn1只有n2时才有意义，所以由Sn求通项公式anf(n)时，要分n1和n2两种情况分别计算，然后验证两种情况可否用统一解析式表示，若不能，则用分段函数的形式表示. 2.求等差数列的前n项和最值的方法： (1)二次函数法：用求二次函数的最值方法来求其前n项和的最值，但要注意nN，结合二次函数图象的对称性来确定n的值，更加直观.,3.求等差数列an的前n项的绝对值之和，关键是找到数列an的正负项的分界点.,