1、第二章 2.1 数 列,2.1.2 数列的递推公式(选学),学习目标 1.理解递推公式是数列的一种表示方法. 2.能根据递推公式写出数列的前n项. 3.掌握由一些简单的递推公式求通项公式的方法.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,知识点一 递推公式,思考 下图形象地用小正方形个数给出数列an的前4项：那么a2a1 ，a3a2 ，a4a3 .由此猜想anan1 .,2,3,4,n,定义：如果已知数列的 (或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的 (或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.,第一项,前一项an1,知识点二 递推公
2、式与通项公式的比较,(2)已知an2n，求a4.,答案 a2a124，a3a226，a4a328；,答案 a4248.,梳理 通项公式和递推公式都是给出数列的方法.已知数列的通项公式，可以直接求出任意一项；已知递推公式，要求某一项，则必须依次求出该项前面所有的项.,思考辨析 判断正误 1.根据通项公式可以求出数列的任意一项.( ) 2.有些数列可能不存在最大项.( ) 3.递推公式是表示数列的一种方法.( ) 4.所有的数列都有递推公式.( ),题型探究,类型一 由数列前若干项归纳递推公式,例1 已知数列an的前4项依次是：13，31，49，67，试猜想an1与an的关系.,解 由a2a131
3、1318， a3a2493118， a4a3674918， 猜想an1an18，即an1an18，nN.,解答,反思与感悟 递推公式是反映数列相邻两项(或几项)间的关系的，所以寻找数列的递推关系，也常从数列相邻项有何变化着手，常考虑的变化有：数列是递增数列还是递减数列，若递增，增幅有什么规律.,跟踪训练1 已知数列an中，a11，a23，a37，a415，试猜想an的递推公式.,解 由a2a131221，a3a273422，a4a3157823， 猜想an1an2n，nN. 或a22a11，a32a21，a42a31. 猜想an12an1，nN.,解答,类型二 数列的递推公式的应用,命题角度1
4、 由递推公式求前若干项,解答,引申探究,故an是周期为4的数列. a2 018a45042a23.,解答,反思与感悟 递推公式反映的是相邻两项(或n项)之间的关系.对于通项公式，已知n的值即可得到相应的项；而递推公式则要已知首项(或前几项)，才可依次求得其他的项.若项数很大，则应考虑数列是否有规律性.,跟踪训练2 在数列an中，已知a12，a23，an23an12an(n1)，写出此数列的前6项.,解 a12，a23， a33a22a133225， a43a32a235239， a53a42a3392517， a63a52a43172933.,解答,命题角度2 由递推公式求通项 例3 (1)对
5、于任意数列an，等式：a1(a2a1)(a3a2)(anan1)an(n2，nN)都成立.试根据这一结论，完成问题：已知数列an满足：a11，an1an2，求通项an；,解 当n2，nN时，ana1(a2a1)(a3a2)(anan1) 1 2(n1)12n1.a11也适合上式， 所以数列an的通项公式是an2n1，nN.,解答,a11也适合上式，,解答,跟踪训练3 已知数列an中，a11，a22，an2an1an，试写出a3，a4，a5，a6，a7，a8，你发现数列an具有怎样的规律并证明此规律.你能否求出该数列中的第2 018项？,解 a11，a22，a31，a41，a52，a61，a71
6、，a82，. 发现：an6an，数列an具有周期性，周期T6. 证明如下：an2an1an， an3an2an1(an1an)an1an. an6an3(an)an. 数列an是周期数列，且T6. a2 018a33662a22.,解答,达标检测,1.数列1，3，6，10，15，的递推公式是 A.an1ann，nN B.anan1n，nN C.an1an(n1)，nN D.anan1(n1)，nN，n2,1,2,3,4,答案,解析,解析 由已知，得a2a12，a3a23，a4a34，a5a45，an1ann1，nN，故选C.,2.已知数列an满足a12，an1an10(nN)，则此数列的通项公
7、式为 A.ann21，nN B.ann1，nN C.an1n，nN D.an3n，nN,1,2,3,4,解析 an1an1， ana1(a2a1)(a3a2)(anan1) 2 2(1)(n1)3n，nN.,答案,解析,3.用火柴棒按下图的方法搭三角形：按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数an与所搭三角形的个数n之间的关系式可以是 .,解析 a13，a2325，a33227，a432229， an2n1，nN.,1,2,3,4,答案,解析,an2n1，nN,(1)写出数列的前5项；,1,2,3,4,解答,(2)猜想数列an的通项公式.,规律与方法,1.an与an是不同的两种表示，an表示数列a1，a2，an，是数列的一种简记形式.而an只表示数列an的第n项，an与an是“个体”与“整体”的从属关系. 2.数列的表示方法：(1)图象法；(2)列表法；(3)通项公式法；(4)递推公式法. 3.通项公式和递推公式的区别：通项公式直接反映an和n之间的关系，即an是n的函数，知道任意一个具体的n值，就可以求出该项的值an；而递推公式则是间接反映数列的式子，它是数列任意两个(或多个)相邻项之间的推导关系，不能由n直接得出an.,