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人教B版高中数学必修五《第二章数列章末复习提升》课件

1、第二章,数列,1,知识网络 系统盘点,提炼主干,2,要点归纳 整合要点,诠释疑点,3,题型研修 突破重点,提升能力,章末复习提升,1.数列的概念及表示方法 (1)定义:按照一定顺序排列着的一列数. (2)表示方法:列表法、图象法、通项公式法和递推公式法. (3)分类:按项数有限还是无限分为有穷数列和无穷数列;按项与项之间的大小关系可分为递增数列、递减数列、摆动数列和常数列.,2.求数列的通项 (1)数列前n项和Sn与通项an的关系:(2)当已知数列an中,满足an1anf(n),且f(1)f(2)f(n)可求,则可用累加法求数列的通项an,常利用恒等式ana1(a2a1)(a3a2)(anan

2、1).,(3)当已知数列an中,满足 f(n),且f(1)f(2)f(n) 可求,则可用累积法求数列的通项an,常利用恒等式an(4)构造新数列法:对由递推公式给出的数列,经过变形后化归成等差数列或等比数列来求通项. (5)归纳、猜想、证明法.,3.等差数列、等比数列的判断方法 (1)定义法:an1and(常数)an是等差数列; q(q为常数,q0)an是等比数列. (2)中项公式法:2an1anan2an是等差数列; anan2(an0)an是等比数列.,(3)通项公式法:ananb(a,b是常数)an是等差数列;ancqn(c,q为非零常数)an是等比数列. (4)前n项和公式法:Snan

3、2bn(a,b为常数,nN) an是等差数列;Snaqna(a,q为常数,且a0,q0,q1,nN)an是等比数列. 4.求数列的前n项和的基本方法 (1)公式法:利用等差数列或等比数列前n项和Sn公式;,(2)分组求和:把一个数列分成几个可以直接求和的数列. (3)裂项相消法:有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式,相加过程消去中间项,只剩有限项再求和. (4)错位相减:适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和. (5)倒序相加:例如,等差数列前n项和公式的推导.,题型一 方程的思想解数列问题 在等差数列和等比数列中,通项公式an和前n项和公式Sn共涉及五个量:a1,an,

4、n,d(或q),Sn,其中首项a1和公差d(或公比q)为基本量,“知三求二”是指将已知条件转换成关于a1,an,n,d(或q),Sn的方程组,通过方程的思想解出需要的量. 例1 设an为等差数列,Sn为数列an的前n项和,已知S721,S1575,Tn为数列 的前n项和,求Tn的最大值.,解 设等差数列an的公差为d,则 Snna1 n(n1)d. S721,S1575,解得a19,d2. Snna1 d9n(n2n)10nn2.,nN,当n9,或n10时,Tn有最大值45.,跟踪演练1 记等差数列an的前n项和为Sn,设S312,且2a1,a2,a31成等比数列,求Sn.,题型二 转化与化归

5、思想求数列通项 由递推公式求通项公式,要求掌握的方法有两种,一种求法是先找出数列的前几项,通过观察、归纳猜想出通项,然后证明;另一种是通过变形转化为等差数列或等比数列,再采用公式求出. 例2 在数列an中,a15且an2an12n1 (n2且nN). (1)求a2,a3的值;,解 a15,a22a122113,a32a223133.,则有2b2b1b3.,(2)是否存在实数,使得数列 为等差数列?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.,解得1.,an(n1)2n1.,(3)求通项公式an.,跟踪演练2 设数列an的前n项和为Sn,已知a12a23a3nan(n1)Sn2n(nN). (1)求

6、a2,a3的值; 解 a12a23a3nan(n1)Sn2n(nN), 当n1时,a1212; 当n2时,a12a2(a1a2)4,a24; 当n3时,a12a23a32(a1a2a3)6,a38. (2)求证:数列Sn2是等比数列.,证明 a12a23a3nan(n1)Sn2n(nN), 当n2时,a12a23a3(n1)an1 (n2)Sn12(n1). 得nan(n1)Sn(n2)Sn12n(SnSn1)Sn2Sn12nanSn2Sn12. Sn2Sn120,即Sn2Sn12, Sn22(Sn12). S1240,Sn120, 2,故Sn2是以4为首项,2为公比的等比数列.,题型三 函数

7、思想求解数列问题 数列是一种特殊的函数,在求解数列问题时,若涉及参数取值范围,最值问题或单调性时,均可考虑采用函数的思想指导解题.值得注意的是数列定义域是正整数集或其真子集,这一特殊性对问题结果可能造成影响. 例3 已知等差数列an的首项a11,公差d0,且第二项、第五项、第十四项分别是一个等比数列的第二项、第三项、第四项. (1)求数列an的通项公式;,解 由题意得(a1d)(a113d)(a14d)2,整理得2a1dd 2. d0,a11,d2. an2n1(nN).,又tZ,适合条件的t的最大值为8.,(1)求数列an的通项公式;,解 Tna1a2a2a3a3a4a4a5a2na2n1

8、a2(a1a3)a4(a3a5)a2n(a2n1a2n1),(2)令Tna1a2a2a3a3a4a4a5a2na2n1,求Tn.,题型四 数列的交汇问题 数列是高中代数的重点内容之一,它始终处在知识的交汇点上,如数列与函数、方程、不等式等其他知识有较多交汇处.它包涵知识点多、思想丰富、综合性强,已成为近年高考的一大亮点. 例4 已知单调递增的等比数列an满足a2a3a428,且a32是a2,a4的等差中项. (1)求数列an的通项公式;,解 设等比数列an的首项为a1,公比为q. 依题意,有2(a32)a2a4,代入a2a3a428,得a38.,解 bn2nlog 2nn2n, Sn12222

9、323n2n, 2Sn122223324(n1)2nn2n1, ,得Sn222232nn2n1,(2)若bnanlog an,Snb1b2bn,对任意正整数n,Sn(nm)an10恒成立,试求m的取值范围.,由Sn(nm)an11,m1,即m的取值范围是(,1.,跟踪演练4 在数列an中,a12,an14an3n1, nN. (1)证明:数列ann是等比数列; 证明 由题设an14an3n1得 an1(n1)4(ann),nN. 又a111,ann是首项为1,公比为4的等比数列.,(2)求数列an的前n项和Sn; 解 由(1)可知ann4n1,于是数列an的通项公式为an4n1n,,(3)证明:不等式Sn14Sn对任意nN皆成立. 证明 对任意的nN.不等式Sn14Sn对任意nN皆成立.,课堂小结 1.等差数列与等比数列是高中阶段学习的两种最基本的数列,也是高考中经常考查并且重点考查的内容之一,这类问题多从数列的本质入手,考查这两种基本数列的概念、基本性质、简单运算、通项公式、求和公式等问题. 2.数列求和的方法:一般的数列求和,应从通项入手,若无通项,先求通项,然后通过对通项变形,转化为与特殊数列有关或具备某种方法适用特点的形式,从而选择合适的方法求和.,