1、2.2 等差数列 2.2.1 等差数列(一),学习目标 1.理解等差数列的定义，掌握等差数列的通项公式. 2.会推导等差数列的通项公式，能运用等差数列的通项公式解决一些简单的问题. 3.掌握等差中项的概念，深化认识并能运用.,1,预习导学 挑战自我，点点落实,2,课堂讲义 重点难点，个个击破,3,当堂检测 当堂训练，体验成功,知识链接 第一届现代奥运会于1896年在希腊雅典举行，此后每4年举行一次，奥运会如因故不能举行，届数照算.这样举行奥运会的年份数构成一个数列，这个数列有什么特征呢？这个数列叫什么数列呢？,预习导引 1.等差数列的概念 如果一个数列从第 项起，每一项与它的前一项的差等于_常
2、数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的 . 2.等差中项 如果三个数x、A、y组成等差数列，那么A叫做x与y的 ， 且A,等差中项,2,同一,个,公差,3.等差数列的通项公式 若等差数列的首项为a1，公差为d，则其通项an_. 4.等差数列的单调性 等差数列an中，若公差d0，则数列an为 数列；若公差d0，则数列an为 数列.,递减,a1(n,1)d,递增,要点一 等差数列的概念 例1 若数列an的通项公式为an10lg 2n，试说明数列an为等差数列. 解 因为an10lg 2n10nlg 2， 所以an1an10(n1)lg 2(10nlg 2)lg 2(nN). 所以数
3、列an为等差数列. 规律方法 判断一个数列是不是等差数列，就是判断an1an(n1)是不是一个与n无关的常数.,跟踪演练1 数列an的通项公式an2n5，则此数列( ) A.是公差为2的等差数列 B.是公差为5的等差数列 C.是首项为5的等差数列 D.是公差为n的等差数列 解析 an1an2(n1)5(2n5)2， an是公差为2的等差数列.,A,要点二 等差中项及其应用 例2 (1)在1与7之间顺次插入三个数a，b，c使这五个数成等差数列，求此数列. 解 1，a，b，c,7成等差数列，,b是1与7的等差中项.b 3. 又a是1与3的等差中项，a 1. 又c是3与7的等差中项，c 5. 该数列
4、为1,1,3,5,7.,(2)已知数列xn的首项x13，通项xn2npnq(nN，p，q为常数)，且x1、x4、x5成等差数列.求：p，q的值. 解 由x13，得2pq3， 又x424p4q，x525p5q，且x1x52x4， 得325p5q25p8q，即q1， 将代入，得p1.,规律方法 在等差数列an中，由定义有an1ananan1 (n2，nN)，即an ，从而由等差中项的定 义知，等差数列从第2项起的每一项都是它前一项与后一项的等差中项.,跟踪演练2 若m和2n的等差中项为4,2m和n的等差中项为5，求m和n的等差中项. 解 由m和2n的等差中项为4，得m2n8. 又由2m和n的等差中
5、项为5，得2mn10. 两式相加，得mn6.m和n的等差中项为 3.,要点三 等差数列的通项公式及应用 例3 (1)若an是等差数列，a158，a6020，求a75. 解 设an的公差为d，首项为a1.,(2)已知递减等差数列an的前三项和为18，前三项的乘积为66.求数列的通项公式，并判断34是该数列的项吗？,数列an是递减等差数列， d0.故取a111，d5. an11(n1)(5)5n16. 即等差数列an的通项公式为an5n16. 令an34，即5n1634，得n10. 34是数列an的第10项.,规律方法 在等差数列an中，首项a1与公差d是两个最基本的元素，有关等差数列的问题，如果
6、条件与结论间的联系不明显，则均可化成有关a1，d的方程(组)求解，但是要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量.,跟踪演练3 已知an为等差数列，分别根据下列条件写出它的通项公式： (1)a35，a713； 解 设首项为a1，公差为d，则,ana1(n1)d1(n1)22n1.,(2)前三项为a,2a1,3a.,1.已知等差数列an的通项公式an32n，则它的公差d为( ) A.2 B.3 C.2 D.3 解析 由等差数列的定义，得dan1an32(n1)(32n)2.,C,1,2,3,4,2.在ABC中，三内角A、B、C成等差数列，则角B等于( ) A.30 B.60 C.90 D.120
7、解析 因为A、B、C成等差数列，所以B是A，C的等差中项，则有AC2B，又因ABC180，所以3B180，从而B60.,B,2,3,4,1,3.一个等差数列的前4项是a，x，b,2x，则 等于( )解析 b是x,2x的等差中项，b 又x是a, b的等差中项，则2xab，,1,2,3,4,C,4.在等差数列an中，已知a1 ，a2a54，an33，求n的值. 解 a2a5(a1d)(a14d)2a15d4，,1,2,3,4,课堂小结 1.判断一个数列是不是等差数列的常用方法有： (1)an1and(d为常数，nN)an是等差数列； (2)2an1anan2(nN)an是等差数列； (3)anknb(k，b为常数，nN)an是等差数列. 但若要说明一个数列不是等差数列，则只需举出一个反例即可.,2.由等差数列的通项公式ana1(n1)d可以看出，只要知道首项a1和公差d，就可以求出通项公式；反过来，在a1、d、n、an四个量中，只要知道其中任意三个量，就可以求出另一个量.,