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人教B版高中数学必修四课件:2.3.2 向量数量积的运算律

1、2.3.2 向量数量积的运算律,第二章 2.3 平面向量的数量积,学习目标 1.掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式. 2.会利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明.,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,问题导学,知识点一 平面向量数量积的运算律,类比实数的运算律,判断下表中的平面向量数量积的运算律是否正确.,正确,错误,正确,错误,知识点二 平面向量数量积的运算性质,类比多项式乘法的乘法公式,写出下表中的平面向量数量积的运算性质.,(ab)2a22abb2,(ab)2a22abb2,(ab)(ab)a2b2,(abc)2a2b2c22ab2bc2ca,梳理,与多次式乘法公式类似,平面

2、向量数量积也有相似公式,应用公式时不要漏写数量积中的点乘符号“”.,题型探究,类型一 向量数量积的运算性质,例1 给出下列结论:若a0,ab0,则b0;若abbc,则ac;(ab)ca(bc);ab(ac)c(ab)0,其中正确结论的序号是_. 解析 因为当两个非零向量a、b垂直时,ab0,故不正确; 当a0,bc时,abbc0,但不能得出ac,故不正确; 向量(ab)c与c共线,a(bc)与a共线,故不正确; ab(ac)c(ab)(ab)(ac)(ac)(ab)0,故正确.,答案,解析,反思与感悟,向量的数量积ab与实数a、b的乘积ab有联系,同时有许多不同之处.例如,由ab0并不能得出a

3、0或b0.特别是向量的数量积不满足结合律.,答案,解析,跟踪训练1 设a,b,c是任意的非零向量,且互不平行,给出以下说法: (ab)c(ca)b0; (bc)a(ca)b不与c垂直; (3a2b)(3a2b)9|a|24|b|2. 其中正确的是_.(填序号) 解析 (ab)c表示与向量c共线的向量,(ca)b表示与向量b共线的向量,而b,c不共线,所以错误; 由(bc)a(ca)bc0知,(bc)a(ca)b与c垂直,故错误; 向量的乘法运算符合多项式乘法法则,所以正确.,命题角度1 已知向量垂直求参数值 例2 已知两个单位向量a,b的夹角为60,cta(1t)b,且bc,则t_.,类型二

4、平面向量数量积有关的参数问题,2,答案,解析,解析 由题意,将bcbta(1t)b整理,,所以t2.,反思与感悟,由两向量垂直求参数一般是利用性质:abab0.,解析 因为a(k,3),b(1,4), 所以2a3b2(k,3)3(1,4)(2k3,6). 因为(2a3b)c, 所以(2a3b)c(2k3,6)(2,1) 2(2k3)60, 解得k3.故选C.,跟踪训练2 已知向量a(k,3),b(1,4),c(2,1),且(2a3b)c,则实数k等于,答案,解析,2k0,k0. 但当k1时,e1ke2ke1e2,它们的夹角为0,不符合题意,舍去. 综上,k的取值范围为k0且k1.,解析 e1k

5、e2与ke1e2的夹角为锐角, (e1ke2)(ke1e2),命题角度2 由两向量夹角的取值范围求参数的取值范围 例3 已知e1与e2是两个互相垂直的单位向量,若向量e1ke2与ke1e2的夹角为锐角, 则k的取值范围为_.,答案,解析,(0,1)(1,),反思与感悟,跟踪训练3 设两个向量e1,e2满足|e1|2,|e2|1,e1,e2的夹角为60,若向量2te17e2与e1te2的夹角为钝角,求实数t的取值范围.,解答,(2te17e2)(e1te2)0.,解 设向量2te17e2与e1te2的夹角为.,当时,也有(2te17e2)(e1te2)0,但此时夹角不是钝角.设2te17e2(e

6、1te2),0,,当堂训练,1.下面给出的关系式中正确的个数是 0a0;abba;a2|a|2;|ab|ab;(ab)2a2b2. A.1 B.2 C.3 D.4 解析 正确,错误,错误,(ab)2(|a|b|cos )2a2b2cos2,故选C.,答案,2,3,4,5,1,解析,答案,2,3,4,5,1,解析,2.已知|a|1,|b| ,且(ab)与a垂直,则a与b的夹角是 A.60 B.30 C.135 D.45,解析 (ab)aa2ab0, aba21,,a,b135.,2,3,4,5,1,答案,解析,3.已知平面向量a,b满足|a|3,|b|2,a与b的夹角为60,若(amb)a,则实

7、数m的值为 A.1 B.0 C.2 D.3,解析 由题意得(amb)a0,a2mab,,故选D.,2,3,4,5,1,解析 abc0,(abc)20, 即|a|2|b|2|c|22(abbcca)0, 32(abbcca)0,,答案,解析,5.已知|a|2,|b|1,(2a3b)(2ab)9. (1)求a与b之间的夹角;,解答,2,3,4,5,1,解 (2a3b)(2ab)4a24ab3b29, 即164ab39,,解答,2,3,4,5,1,(2)求向量a在ab上的正射影的数量.,设a与ab的夹角为, 则向量a在ab上的正射影的数量为,规律与方法,1.数量积对结合律不一定成立,因为(ab)c|a|b|cosa,bc是一个与c共线的向量,而(ac)b|a|c|cosa,cb是一个与b共线的向量,若b与c不共线,则两者不相等. 2.在实数中,若ab0,则a0或b0,但是在数量积中,即使ab0,也不能推出a0或b0,因为其中cos 有可能为0. 3.在实数中,若abbc,b0,则ac,在向量中,abbc,b0ac.,本课结束,