1、2.3.2 向量数量积的运算律,第二章 2.3 平面向量的数量积,学习目标 1.掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式. 2.会利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明.,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,问题导学,知识点一 平面向量数量积的运算律,类比实数的运算律，判断下表中的平面向量数量积的运算律是否正确.,正确,错误,正确,错误,知识点二 平面向量数量积的运算性质,类比多项式乘法的乘法公式，写出下表中的平面向量数量积的运算性质.,(ab)2a22abb2,(ab)2a22abb2,(ab)(ab)a2b2,(abc)2a2b2c22ab2bc2ca,梳理,与多次式乘法公式类似，平面
2、向量数量积也有相似公式，应用公式时不要漏写数量积中的点乘符号“”.,题型探究,类型一 向量数量积的运算性质,例1 给出下列结论：若a0，ab0，则b0；若abbc，则ac；(ab)ca(bc)；ab(ac)c(ab)0，其中正确结论的序号是_. 解析 因为当两个非零向量a、b垂直时，ab0，故不正确； 当a0，bc时，abbc0，但不能得出ac，故不正确； 向量(ab)c与c共线，a(bc)与a共线，故不正确； ab(ac)c(ab)(ab)(ac)(ac)(ab)0，故正确.,答案,解析,反思与感悟,向量的数量积ab与实数a、b的乘积ab有联系，同时有许多不同之处.例如，由ab0并不能得出a
3、0或b0.特别是向量的数量积不满足结合律.,答案,解析,跟踪训练1 设a，b，c是任意的非零向量，且互不平行，给出以下说法： (ab)c(ca)b0； (bc)a(ca)b不与c垂直； (3a2b)(3a2b)9|a|24|b|2. 其中正确的是_.(填序号) 解析 (ab)c表示与向量c共线的向量，(ca)b表示与向量b共线的向量，而b，c不共线，所以错误； 由(bc)a(ca)bc0知，(bc)a(ca)b与c垂直，故错误； 向量的乘法运算符合多项式乘法法则，所以正确.,命题角度1 已知向量垂直求参数值 例2 已知两个单位向量a，b的夹角为60，cta(1t)b，且bc，则t_.,类型二
4、平面向量数量积有关的参数问题,2,答案,解析,解析 由题意，将bcbta(1t)b整理，,所以t2.,反思与感悟,由两向量垂直求参数一般是利用性质：abab0.,解析 因为a(k，3)，b(1，4)， 所以2a3b2(k，3)3(1，4)(2k3，6). 因为(2a3b)c， 所以(2a3b)c(2k3，6)(2，1) 2(2k3)60， 解得k3.故选C.,跟踪训练2 已知向量a(k，3)，b(1，4)，c(2，1)，且(2a3b)c，则实数k等于,答案,解析,2k0，k0. 但当k1时，e1ke2ke1e2，它们的夹角为0，不符合题意，舍去. 综上，k的取值范围为k0且k1.,解析 e1k
5、e2与ke1e2的夹角为锐角， (e1ke2)(ke1e2),命题角度2 由两向量夹角的取值范围求参数的取值范围 例3 已知e1与e2是两个互相垂直的单位向量，若向量e1ke2与ke1e2的夹角为锐角， 则k的取值范围为_.,答案,解析,(0，1)(1，),反思与感悟,跟踪训练3 设两个向量e1，e2满足|e1|2，|e2|1，e1，e2的夹角为60，若向量2te17e2与e1te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围.,解答,(2te17e2)(e1te2)0.,解 设向量2te17e2与e1te2的夹角为.,当时，也有(2te17e2)(e1te2)0，但此时夹角不是钝角.设2te17e2(e
6、1te2)，0，,当堂训练,1.下面给出的关系式中正确的个数是 0a0；abba；a2|a|2；|ab|ab；(ab)2a2b2. A.1 B.2 C.3 D.4 解析 正确，错误，错误，(ab)2(|a|b|cos )2a2b2cos2，故选C.,答案,2,3,4,5,1,解析,答案,2,3,4,5,1,解析,2.已知|a|1，|b| ，且(ab)与a垂直，则a与b的夹角是 A.60 B.30 C.135 D.45,解析 (ab)aa2ab0， aba21，,a，b135.,2,3,4,5,1,答案,解析,3.已知平面向量a，b满足|a|3，|b|2，a与b的夹角为60，若(amb)a，则实
7、数m的值为 A.1 B.0 C.2 D.3,解析 由题意得(amb)a0，a2mab，,故选D.,2,3,4,5,1,解析 abc0，(abc)20， 即|a|2|b|2|c|22(abbcca)0， 32(abbcca)0，,答案,解析,5.已知|a|2，|b|1，(2a3b)(2ab)9. (1)求a与b之间的夹角；,解答,2,3,4,5,1,解 (2a3b)(2ab)4a24ab3b29， 即164ab39，,解答,2,3,4,5,1,(2)求向量a在ab上的正射影的数量.,设a与ab的夹角为， 则向量a在ab上的正射影的数量为,规律与方法,1.数量积对结合律不一定成立，因为(ab)c|a|b|cosa，bc是一个与c共线的向量，而(ac)b|a|c|cosa，cb是一个与b共线的向量，若b与c不共线，则两者不相等. 2.在实数中，若ab0，则a0或b0，但是在数量积中，即使ab0，也不能推出a0或b0，因为其中cos 有可能为0. 3.在实数中，若abbc，b0，则ac，在向量中，abbc，b0ac.,本课结束,