1、2.3.1 向量数量积的物理背景与定义,第二章 2.3 平面向量的数量积,学习目标 1.了解平面向量数量积的物理背景，即物体在力F的作用下产生位移s所做的功. 2.掌握平面向量数量积的定义和运算律，理解其几何意义. 3.会用两个向量的数量积求两个向量的夹角以及判断两个向量是否垂直.,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,问题导学,知识点一 向量的夹角,思考1,平面中的任意两个向量都可以平移至同一起点，它们存在夹角吗？若存在，向量的夹角与直线的夹角一样吗？,答案,答案 存在夹角，不一样.,思考2,ABC为正三角形，设 a， b，则向量a与b的夹角是多少？,答案,ABC为等边三角形， ABC60
2、， 则CBD120， 故向量a与b的夹角为120.,两个向量夹角的定义 (1)已知两个非零向量a，b，作 a， b， 则 称作向量a和向量b的夹角，记作 ，并规定它的范围是. 在这个规定下，两个向量的夹角被唯一确定了，并且有a，b .(2)当 时，我们说向量a和向量b互相垂直，记作 .,梳理,AOB,a，b,0a，b,b，a,ab,知识点二 向量在轴上的正射影,思考,向量在轴上的正射影是向量还是数量？其在轴上的坐标的符号取决于谁？,答案,答案 向量b在轴上的射影是一个向量，其在轴上的坐标为数量，其符号取决于夹角的范围：当为锐角时，该数量为正值； 当为钝角时，该数量为负值；当为直角时，该数量为0
3、； 当0时，该数量为|b|；当180时，该数量为|b|.,向量在轴上的正射影 已知向量a和轴l(如图). 作 a，过点O，A分别作轴l的垂线，垂足分别为O1，A1，则向量 叫做向量a在轴l上的正射影(简称射影)，该射影在轴l上的坐标，称作a在上的数量或在 上的数量. a在轴l上正射影的坐标记作al，向量a的方向与轴l的正向所成的角为，则由三角函数中的余弦定义有al|a|cos .,梳理,轴l,轴l的方向,知识点三 向量的数量积(内积),思考1,如图，一个物体在力F的作用下产生位移s，且力F与位移s的夹角为，那么力F所做的功W是多少？,答案,答案 W|F|s|cos .,思考2,对于两个非零向量
4、a与b，我们把数量|a|b|cos 叫做a与b的数量积(或内积)，记作ab，即ab|a|b|cos ，那么ab的运算结果是向量还是数量？特别地，零向量与任一向量的数量积是多少？,答案,答案 ab的运算结果是数量. 0a0.,向量数量积的定义叫做向量a和b的数量积(或内积)，记作ab，即ab|a|b|cos a，b .,梳理,|a|b|cos a，b ,知识点四 向量数量积的性质,思考1,设a与b都是非零向量，若ab，则ab等于多少？反之成立吗？,答案,答案 abab0.,思考2,当a与b同向时，ab等于什么？当a与b反向时，ab等于什么？特别地，aa等于什么？,答案 当a与b同向时，ab|a|
5、b|； 当a与b反向时，ab|a|b|；,思考3,|ab|与|a|b|的大小关系如何？为什么？对于向量a，b，如何求它们的夹角？,答案,答案 |ab|a|b|，设a与b的夹角为， 则ab|a|b|cos . 两边取绝对值得|ab|a|b|cos |a|b|. 当且仅当|cos |1， 即cos 1，0或时，取“”. 所以|ab|a|b|.,两个向量内积有如下重要性质 (1)如果e是单位向量，则aeea (a0). (2)abab ，且ab ab(a0，b0). (3)aa 或|a| .(4)cosa，b (|a|b|0). (5)|ab| |a|b|.,梳理,|a|cosa，e,0,0,|a|
6、2,题型探究,类型一 求两向量的数量积,例1 已知|a|4，|b|5，当(1)ab；(2)ab；(3)a与b的夹角为30时，分别求a与b的数量积. 解 (1)当ab时，若a与b同向，则0， ab|a|b|cos 04520； 若a与b反向，则180， ab|a|b|cos 18045(1)20. (2)当ab时，90， ab|a|b|cos 900. (3)当a与b的夹角为30时，ab|a|b|cos 30,解答,反思与感悟,求平面向量数量积的步骤：(1)求a与b的夹角，0，180；(2)分别求|a|和|b|；(3)求数量积，即ab|a|b|cos ，要特别注意书写时a与b之间用实心圆点“”连
7、接，而不能用“”连接，也不能省去.,答案,解析,解析 如图所示，由题意， 得BCa，CDa，BCD120.,例2 已知|a|b|5，向量a与b的夹角为 ，求|ab|，|ab|.,类型二 求向量的模,解答,引申探究 若本例中条件不变，求|2ab|，|a2b|.,解答,反思与感悟,此类求解向量模的问题就是要灵活应用a2|a|2，即|a| ，勿忘记开方.,跟踪训练2 已知|a|b|5，且|3a2b|5，求|3ab|的值. 解 |3a2b|29|a|212ab4|b|2 92512ab42532512ab， |3a2b|5， 32512ab25， ab25. |3ab|2(3ab)2 9a26abb2
8、92562525400， 故|3ab|20.,解答,例3 设n和m是两个单位向量，其夹角是60，求向量a2mn与b2n3m的夹角.,类型三 求向量的夹角,解答,解 |n|m|1且m与n的夹角是60，,ab(2mn)(2n3m)mn6m22n2,设a与b的夹角为，,反思与感悟,当求向量夹角时，应先根据公式把涉及到的量先计算出来再代入公式求角，注意向量夹角的范围是0，.,跟踪训练3 已知ab9，a在b方向上的正射影的数量为3，b在a方向上的正射影的数量为 ，求a与b的夹角.,解答,又0180，120.,当堂训练,1.已知|a|8，|b|4，a，b120，则向量b在a方向上的正射影的数量为 A.4
9、B.4 C.2 D.2,答案,2,3,4,5,1,解析,解析 向量b在a方向上的正射影的数量为|b|cosa，b4cos 1202.,答案,2,3,4,5,1,解析,A.1 B.2 C.3 D.5,解析 |ab|2(ab)2a22abb210， |ab|2(ab)2a22abb26， 由得4ab4， ab1.,2,3,4,5,1,答案,解析,3.若ab，c与a及与b的夹角均为60，|a|1，|b|2，|c|3， 则(a2bc)2_. 解析 (a2bc)2 a24b2c24ab2ac4bc 124223240213cos 60423cos 60 11.,11,答案,解析,25,2,3,4,5,1
10、,5.已知正三角形ABC的边长为1，求：,解答,2,3,4,5,1,解答,2,3,4,5,1,规律与方法,1.两向量a与b的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当a0，b0，090时)，也可以为负(当a0，b0，90180时)，还可以为0(当a0或b0或90时). 2.两个向量的数量积是两个向量之间的一种运算，与实数乘实数、实数乘向量的乘法运算是有区别的，在书写时一定要把它们严格区分开来，绝不可混淆. 3.在ab|a|b|cos 中，|b|cos 和|a|cos 分别叫做b在a方向上的正射影的数量和a在b方向上的正射影的数量，要结合图形严格区分.,4.求射影有两种方法 (1)b在a方向上的正射影的数量为|b|cos (为a，b的夹角)，a在b方向上的正射影的数量为|a|cos .,本课结束,