1、3.4 函数的应用(),学习目标 1.掌握常见增长函数的定义、图象、性质，并体会其增长快慢；理解直线上升，对数增长，指数爆炸的含义. 2.会分析具体的实际问题，建模解决实际问题.,1,预习导学 挑战自我，点点落实,2,课堂讲义 重点难点，个个击破,3,当堂检测 当堂训练，体验成功,知识链接,1.三种函数模型的性质,变陡,变缓,2.三种函数的增长速度比较 (1)在区间(0，)上，函数yax(a1)，ylogax(a1)和yxn(n0)都是 ，但 不同，且不在同一个“档次”上.,增函数,增长速度,(2)在区间(0，)上随着x的增大，yax(a1)增长速度越来越快，会超过并远远大于yxn(n0)的增
2、长速度，而ylogax(a1)的增长速度则会 . (3)存在一个x0，使得当xx0时，有logaxxnax.,越来越慢,要点一 函数模型的增长差异 例1 (1)当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应该是( ) A.y10 000x B.ylog2x C.yx1 000 D.y 解析 由于指数型函数的增长是爆炸式增长，,D,(2)四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：,关于x呈指数函数变化的变量是_. 解析 以爆炸式增长的变量是呈指数函数变化的. 从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，变量y1，y2，y3，y4都是越来越大， 但是增长速度不同，
3、其中变量y2的增长速度最快， 可知变量y2关于x呈指数函数变化.,y2,规律方法 在区间(0，)上，尽管函数yax(a1)，ylogax(a1)和yxn(n0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上.随着x的增大，yax(a1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于yxn(n0)的增长速度，而ylogax(a1)的增长速度则会越来越慢，总会存在一个x0，当xx0，就有logaxxnax.,跟踪演练1 如图给出了红豆生长时间t(月)与枝数y(枝)的散点图，那么最能拟合诗句“红豆生南国，春来发几枝”所提到的红豆生长时间与枝数的关系的函数模型是( ) A.指数函数：y2t B.对数
4、函数：ylog2t C.幂函数：yt3 D.二次函数：y2t2,解析 由题中图象可知，该函数模型为指数函数. 答案 A,要点二 几种函数模型的比较 例2 某汽车制造商在2013年初公告：随着金融危机的解除，公司计划2013年生产目标定为43万辆.已知该公司近三年的汽车生产量如下表所示：,如果我们分别将2010,2011,2012,2013定义为第一、二、三、四年.现在你有两个函数模型：二次函数模型f(x)ax2bxc(a0)，指数函数模型g(x)abxc(a0，b0，b1)，哪个模型能更好地反映该公司年销量y与年份x的关系？ 解 建立年销量y与年份x的函数， 可知函数必过点(1,8)，(2,1
5、8)，(3,30). (1)构造二次函数模型f(x)ax2bxc(a0)，,解得a1，b7，c0， 则f(x)x27x，故f(4)44，与计划误差为1.,(2)构造指数函数模型g(x)abxc(a0，b0，b1)，,由(1)(2)可得，f(x)x27x模型能更好地反映该公司年销量y与年份x的关系.,规律方法 1.此类问题求解的关键是首先利用待定系数法求出相关函数模型，也就是借助数据信息，得到相关方程，进而求出待定参数. 2.理解“模型能更好反映该公司年销量y与年份x的关系”的含义，在此基础上利用既定值来检验模型的优劣.,跟踪演练2 函数f(x)lg x，g(x)0.3x1的图象如图.,(1)指
6、出C1，C2分别对应图中哪一个函数；,解 由函数图象特征及变化趋势，知曲线C1对应的函数为g(x)0.3x1，曲线C2对应的函数为f(x)lg x，,(2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较). 解 当x(0，x1)时，g(x)f(x)； 当x(x1，x2)时，g(x)f(x)； 当x(x2，)时，g(x)f(x). 函数g(x)0.3x1呈直线增长，函数f(x)随着x的逐渐增大，其函数值变化的越来越慢，为“蜗牛式”增长.,1,2,3,4,5,1.当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应该是( ) A.y100x B.ylog100x C.yx1
7、00 D.y100x 解析 几种函数模型中，指数函数增长最快，故选D.,D,1,2,3,4,5,2.当2x4时，2x，x2，log2x的大小关系是( ) A.2xx2log2x B.x22xlog2x C.2xlog2xx2 D.x2log2x2x 解析 方法一 在同一平面直角坐标系中分别画出函数 ylog2x，yx2，y2x，,1,2,3,4,5,在区间(2,4)上从上往下依次是yx2，y2x，ylog2x的图象, 所以x22xlog2x. 方法二 比较三个函数值的大小，作为选择题，可以采用特殊值代入法. 可取x3，经检验易知选B. 答案 B,1,2,3,4,5,3.某林区的森林蓄积量每年比
8、上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数yf(x)的图象大致是( ),1,2,3,4,5,解析 设该林区的森林原有蓄积量为a， 由题意，axa(10.104)y，故ylog1.104x(x1)， yf(x)的图象大致为D中图象. 答案 D,1,2,3,4,5,4.某种动物繁殖数量y(只)与时间x(年)的关系为yalog2(x1),设这种动物第一年有100只，到第7年它们发展到( ) A.300只 B.400只 C.500只 D.600只 解析 由已知第一年有100只，得a100. 将a100，x7代入yalog2(x1)，得y300.,A,5,1,2,3,4,5.某种产品每件80元，每天可售出30件，如果每件定价120元，则每天可售出20件，如果售出件数是定价的一次函数，则这个函数解析式为_. 解析 设解析式为ykxb(k0)，,5,1,2,3,4,课堂小结 三种函数模型的选取 (1)当增长速度变化很快时，常常选用指数函数模型. (2)当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长到很大时，常常选用对数函数模型.,(3)幂函数模型yxn(n0)，则可以描述增长幅度不同的变化：n值较小(n1)时，增长较慢；n值较大(n1)时，增长较快.,