1、3.1 指数与指数函数 3.1.2 指数函数 第2课时 指数函数及其性质的应用,学习目标 1.理解指数函数的单调性与底数的关系. 2.能运用指数函数的单调性解决一些问题.,1,预习导学 挑战自我，点点落实,2,课堂讲义 重点难点，个个击破,3,当堂检测 当堂训练，体验成功,知识链接 1.函数yax(a0且a1)恒过点 ，当a1时，单调 ，当0a1时，单调 . 2.复合函数yf(g(x)的单调性：当yf(x)与ug(x)有相同的单调性时，函数yf(g(x)单调 ，当yf(x)与ug(x)的单调性相反时，yf(g(x)单调 ，简称为 .,同增异减,(0,1),递增,递减,递增,递减,预习导引 1.
2、函数yax与yax(a0，且a1)的图象关于 对称. 2.形如yaf(x)(a0，且a1)函数的性质 (1)函数yaf(x)与函数yf(x)有 的定义域. (2)当a1时，函数yaf(x)与yf(x)具有 的单调性；当0a1时，函数yaf(x)与函数yf(x)的单调性 .,相反,y轴,相同,相同,3.形如ykax(kR，且k0，a0且a1)的函数是一种 函数，这是一种非常有用的函数模型. 4.设原有量为N，每次的增长率为p，经过x次增长，该量增长到y，则y .,N(1p)x(xN),指数型,要点一 利用指数函数的单调性比较大小 例1 比较下列各组数的大小： (1)1.9与1.93； 解 由于指
3、数函数y1.9x在R上单调递增，而3，所以1.91.93.,(2) 与0.70.3；,(3)0.60.4与0.40.6. 解 因为y0.6x在R上单调递减，所以0.60.40.60.6；又在y轴右侧，函数y0.6x的图象在y0.4x的图象的上方，所以0.60.60.40.6，所以0.60.40.40.6.,规律方法 1.对于底数相同但指数不同的两个幂的大小的比较，可以利用指数函数的单调性来判断. 2.比较幂值，若底数不相同，则首先考虑能否化为同底数，然后根据指数函数的性质得出结果；不能化成同底数的，要考虑引进第三个数(如0或1等)分别与之比较，借助中间值比较.,跟踪演练1 已知a0.80.7，
4、b0.80.9，c1.20.8，则a，b，c的大小关系是( ) A.abc B.bac C.cba D.cab 解析 因为函数y0.8x在R上单调递减，而0.70.9，所以10.80.70.80.9，又因为1.21,0.80，所以1.20.81，故1.20.80.80.70.80.9，即cab.,D,要点二 指数型函数的单调性 例2 判断f(x) 的单调性，并求其值域.,y 在(，1上递增，在1，)上递减. ux22x(x1)211，,原函数的值域为(0,3.,规律方法 1.关于指数型函数yaf(x)(a0，且a1)的单调性由两点决定，一是底数a的大小；二是f(x)的单调性，它由两个函数yau
5、，uf(x)复合而成. 2.求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成yf(u)，u(x)，通过考查f(u)和(x)的单调性，求出yf(x)的单调性.,跟踪演练2 求函数y 的单调区间. 解 函数y 的定义域是R.令ux22x(x1)21，则y2u.当x(，1时，函数ux22x为增函数，函数y2u是增函数，所以函数y 在(，1上是增函数. 当x1，)时，函数ux22x为减函数，函数y2u是增函数，所以函数y 在1，)上是减函数. 综上，函数y 的单调增区间是(，1，单调减区间是1，).,要点三 指数函数的综合应用,(1)证明f(x)为奇函数. 证明 由题知f(x)的定义域为R
6、，,所以f(x)为奇函数.,(2)判断f(x)的单调性，并用定义加以证明. 解 f(x)在定义域上是增函数.证明如下： 任取x1，x2R，且x1x2，,f(x2)f(x1)0，即f(x2)f(x1)， f(x)为R上的增函数.,(3)求f(x)的值域.,即f(x)的值域为(1,1).,规律方法 指数函数是一种具体的初等函数，常与函数的单调性、奇偶性等知识点融合在一起进行考查，按照原有的单调性、奇偶性的解决办法分析、解决问题即可.,(1)求a的值； 解 依题意，对一切xR，有f(x)f(x)，,即a21.又a0，a1.,(2)求证f(x)在(0，)上是增函数. 证明 设0x1x2，,即f(x)在
7、(0，)上是增函数.,1,2,3,4,5,A.(，) B.(0，) C.(1，) D.(0,1) 解析 定义域为R.,1,2,3,4,5,u1x在R上为减函数.,选A. 答案 A,1,2,3,4,5,B,1,2,3,4,5,A.y3y1y2 B.y2y1y3 C.y1y2y3 D.y1y3y2,根据y2x在R上是增函数， 所以21.821.521.44， 即y1y3y2，故选D.,D,1,2,3,4,5,4.某种细菌在培养过程中，每20 min分裂一次，即由1个细菌分裂成2个细菌，经过3 h，这种细菌由1个可繁殖成_个. 解析 3 h920 min，即经过9次分裂，可分裂为29512个.,51
8、2,5,1,2,3,4,解析 函数f(x)为奇函数，定义域为R,课堂小结 1.比较两个指数式值大小的主要方法 (1)比较形如am与an的大小，可运用指数函数yax的单调性. (2)比较形如am与bn的大小，一般找一个“中间值c”，若amc且cbn，则ambn；若amc且cbn，则ambn.,2.指数函数单调性的应用 (1)形如yaf(x)的函数的单调性：令uf(x)，在f(x)的单调区间m，n上，如果两个函数yau与uf(x)的单调性相同，则函数yaf(x)在m，n上是增函数；如果两者的单调性相异(即一增一减)，则函数yaf(x)在m，n上是减函数. (2)形如axay的不等式，当a1时，axayxy；当0a1时，axayxy.,