1、2.4 函数与方程 2.4.2 求函数零点近似解的一种计算方法 二分法,学习目标 1.了解函数变号零点与不变号零点的概念，会判断函数变号零点的存在. 2.会用二分法求函数变号零点的近似值，并能对二分法的过程作出程序化的步骤.,1,预习导学 挑战自我，点点落实,2,课堂讲义 重点难点，个个击破,3,当堂检测 当堂训练，体验成功,知识链接 现有一款手机，目前知道它的价格在5001 000元之间，你能在最短的时间内猜出与它最近的价格吗？(误差不超过20元)，猜价格方案：(1)随机；(2)每次增加20元；(3)每次取价格范围内的中间价，采取哪一种方案好呢？,预习导引 1.二分法的概念 对于在区间a，b
2、上连续不断且 的函数yf(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间 ，使区间的两个端点 ，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.由函数的零点与相应的方程根的关系，可用二分法来求 .,方程的近似解,f(a)f(b)0,一分为二,逐步逼近为零点,2.用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤 (1)在D内取一个闭区间a0，b0D，使f(a0)与f(b0)异号，即_.零点位于区间a0，b0中.,f(a0)f(b0)0,计算f(x0)和f(a0)，并判断： 如果f(x0)0，则x0就是f(x)的零点，计算终止； 如果f(a0)f(x0)0，则零点位于区间x0，b0中，令a1x0，b1b0.,计算f(x
3、1)和f(a1)，并判断： 如果f(x1)0，则 ，计算终止； 如果f(a1)f(x1)0，则零点位于区间 上，令a2x1，b2b1.,x1，b1,x1就是f(x)的零点,a1，x1,(4)继续实施上述步骤，直到区间 ，函数的零点总位于区间 上，当an和bn按照给定的精确度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数yf(x)的近似零点，计算终止.这时函数yf(x)的近似零点满足给定的精确度.,an，bn,an，bn,要点一 函数零点类型的判断 例1 判断下列函数是否有变号零点； (1)yx25x14； 解 yx25x14(x2)(x7)， 有两个零点2,7. 由二次函数的图象知，2,7都是变
4、号零点.,(2)yx2x1；,此函数没有零点. (3)y4x24x1. 解 y4x24x1(2x1)2，,规律方法 函数的零点分为变号零点和不变号零点，若函数零点左右两侧函数值符号相反，则此零点为函数的变号零点；从图象来看，若图象穿过x轴，则此零点为变号零点，否则为不变号零点.二分法只能求函数的变号零点.,跟踪演练1 已知函数yf(x)的图象如图所示.下列结论正确的序号是( ) 该函数有三个变号零点； 所有零点之和为0； 当x 时，恰有一个零点； 当0x1时，恰有一个零点. A. B. C. D. 解析 函数yf(x)的三个变号零点分别是1,0,1.所以正确.,D,要点二 二分法求函数零点近似
5、解 例2 求函数f(x)x32x23x6的一个为正数的零点(精确到0.1). 解 由于f(1)60，f(2)40，可取区间1，2作为计算的初始区间. 用二分法逐次计算，列表如下：,至此可以看出，区间1.718 75,1.734 375内的所有值精确到0.1都为1.7，所以1.7就是所求函数零点精确到0.1的实数解，即为函数的一个正数零点.,规律方法 1.在选择区间a，b时要使其长度尽可能小，以减少运算次数.在没有特别要求的情况下，为了便于计算和操作，可以尝试取相邻的两个整数作为初始值区间的端点. 2.切记最后分得的区间两端点共同的近似值才是零点的近似值，若无共同近似值则需继续运算，直到符合要求
6、为止.,跟踪演练2 求函数f(x)x3x1在区间1,1.5内的一个零点(精确到0.1). 解 由于f(1)11110， f(1.5)3.3751.510.8750， f(x)在区间1,1.5内存在零点， 取区间1,1.5作为计算的初始区间， 用二分法逐次计算列表如下：,区间1.312 5,1.343 75两个端点精确到0.1的近似值都是1.3，所以原函数精确到0.1的近似零点为1.3.,1,2,3,4,5,1.设函数f(x)用二分法求方程f(x)0在x(1,2)内近似解的过程中得f(1)0，f(1.5)0，f(1.25)0，则方程的根落在区间( ) A.(1,1.25) B.(1.25,1.5
7、) C.(1.5,2) D.不能确定 解析 f(1.5)f(1.25)0， 方程的根落在区间(1.25,1.5).,B,1,2,3,4,5,2.函数f(x)的图象如图所示，则函数f(x)的变号零点的个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3,D,解析 函数f(x)的图象通过零点时穿过x轴，则必存在变号零点，根据图象得函数f(x)有3个变号零点.,3.在用二分法求函数f(x)的一个正实数零点时， 经计算，f(0.64)0，f(0.72)0，f(0.68)0，则函数的一个精确到0.1的正实数零点的近似值为( ) A.0.68 B.0.72 C.0.7 D.0.6 解析 已知f(0.64)0，f(
8、0.72)0，则函数f(x)的零点的初始区间为0.64,0.72，又0.68(0.640.72)/2，且f(0.68)0，所以零点在区间0.68,0.72上，且该区间的左、右端点精确到0.1所取的近似值都是0.7，因此0.7就是所求函数的一个正实数零点的近似值.,C,1,2,3,4,5,4.下列函数图象均与x轴有交点，其中能用二分法 求函数零点的是_(填序号).解析 图中所示函数的零点都不是变号零点，因此不能用二分法求解；图中所示函数的零点是变号零点，能用二分法求解.,1,2,3,4,5,5.用二分法求方程x32x50在区间2,3内的 实根，取区间中点x02.5，那么下一个有根区间是_. 解析 令f(x)x32x5，f(x)图象在2,3上连续不断， f(2)10，f(3)160， f(x0)f(2.5)5.6250， f(2)f(2.5)0， 故下一个有根区间是2,2.5.,2,2.5,5,1,2,3,4,课堂小结 1.判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点.因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适合，对函数的不变号零点不适用. 2.二分法的实质是通过“取中点”，不断缩小零点所在区间的范围.当区间的两个端点的值按照给定的精确度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数的近似零点.,