1、2.3 函数的应用(),学习目标 1.明确一次函数、二次函数、分段函数可作为数学模型解有关应用题. 2.初步掌握数学建模的方法. 3.通过数学建模的应用，培养应用意识.,1,预习导学 挑战自我，点点落实,2,课堂讲义 重点难点，个个击破,3,当堂检测 当堂训练，体验成功,预习导引 常见函数模型,要点一 一次函数模型 例1 大气中的温度随着高度的上升而降低，根据实测的结果上升到12 km为止，温度的降低大体上与升高的距离成正比，在12 km以上温度一定，保持在55 . (1)当地球表面大气的温度是a 时，在x km的上空为y ，求0x12时，a，x，y间的函数关系式； 解 由题意知yakx(0x
2、12，k0)， 即yakx.,当x12时，y55，55a12k，,(2)当地球表面大气的温度是29 时，3 km上空的温度是多少？,即当地球表面大气的温度是29 时，3 km上空的温度是8 .,跟踪演练1 如图所示，这是某电信局规定的打长途电话所需要付的电话费y(元)与通话时间t(分钟)之间的函数关系图象，根据图象填空：,(1)通话2分钟，需要付电话费_元； 解析 由图象可知，当t3时，电话费都是3.6元. (2)通话5分钟，需要付电话费_元； 解析 由图象可知，当t5时，y6，需付电话费6元.,3.6,6,(3)如果t3，则电话费y(元)与通话时间t(分钟)之间的函数关系式为_. 解析 当t
3、3时，y关于x的图象是一条直线，且经过(3,3.6)和(5,6)两点，故设函数关系式为yktb，,故y关于t的函数关系式为y1.2t(t3).,y1.2t(t3),要点二 二次函数模型 例2 某公司通过报纸和电视两种方式做销售某种商品的广告，根据统计资料，销售收入R(万元)与报纸广告费用x1(万元)及电视广告费用x2(万元)之间的关系有如下经验公式：,(1)若提供的广告费用共为5万元，求最优广告策略；(即收益最大的策略，其中收益销售收入广告费用),解 广告费共5万元，设报纸广告费用x万元，则电视广告费用5x万元，利润为w万元. R2x2(5x)213x11(5x)28(0x5) 3x212x2
4、(0x5). 当x2万元时，Rmax14万元， 此时电视广告费用为3万元. w1459(万元). 即报纸广告费2万元，电视广告费3万元.,(2)在广告费用不限的情况下，求最优广告策略(其中x1，x2N). 解 广告费用不限， R(x)f(x)g(x)28，,x1，x2N， f(x)maxf(3)21， g(x)maxf(5)f(6)30.,欲使最大，所以g(x)取最大值时x25， 此时213028815. 即报纸广告费用为3万元，电视广告费用为5万元时为最优广告策略. 规律方法 在函数模型中，二次函数模型占有重要的地位，因为根据实际问题建立函数解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法、函数的单
5、调性等来求函数的最值，从而解决实际问题中的最大、最小等问题.,跟踪演练2 心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x(单位：分)之间满足函数关系式y0.1x22.6x43 (0x30)，y值越大，表示接受能力越强. (1)x在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？x在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？ 解 y0.1x22.6x43 0.1(x13)259.9. 所以，当0x13时，学生的接受能力逐步增强； 当13x30时，学生的接受能力逐步下降.,(2)第10分钟时，学生的接受能力是多少？ 解 当x10时，y0.1(1013)259.959. 即第10分钟时，学生的接受能力为5
6、9. (3)第几分钟时，学生的接受能力最强？ 解 当x13时，y取最大值. 所以，在第13分钟时，学生的接受力最强.,要点三 分段函数模型 例3 某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购1个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元. (1)当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51元？ (工厂售出一个零件的利润实际出厂单价成本),当x550时，P51.,(2)设一次订购量为x个，零件的实际出厂单价为P元，写出函数Pf(x)的表达式； 解 当0x100时，P60；,(3)当
7、销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1 000个，利润又是多少元？ 解 设销售商一次订购量为x个时，工厂获得的利润为L元，,当x500时，L6 000；当x1 000时，L11 000. 因此，当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是6 000元；如果订购1 000个，利润是11 000元.,规律方法 分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段变量的范围，特别是端点值.,(1)若该公司的年产量为x(单位：百件)，试把该公司生产并销售这种产品所得的年利润表示为年产量x的函数；,解
8、 当0x5时，产品全部售出，当x5时，产品只能售出500件.,(2)当这种产品的年产量为多少时，当年所得利润最大？,当x4.75(百件)时，f(x)有最大值， f(x)max10.781 25(万元). 当x5时，f(x)max120.25510.75(万元). 当这种产品的年产量为475件时，利润最大.,1,2,3,4,5,1.一辆汽车在某段路程中的行驶路程s关于时间t变化的图象如图所示，那么图象所对应的函数模型是( ) A.一次函数 B.二次函数 C.分段函数 D.无法确定 解析 由图象知，在不同时段内，路程折线不同，故函数模型为分段函数.,C,1,2,3,4,5,2.随着海拔高度的升高，
9、大气压强下降，空气中的含氧量也随之下降，且含氧量y(g/m3)与大气压强x(kPa)成正比例函数关系.当x36 kPa时，y108 g/m3，则y与x的函数关系式为( ),解析 由题意设ykx(k0)，将(36,108)代入解析式可得k3，故y3x，考虑到含氧量不可能为负，可知x0.,A,1,2,3,4,5,3.化工厂在一月份生产某种产品200 t，三月份生产y t，则y与月平均增长率x之间的关系是( ) A.y200x B.y200x2 C.y200(1x) D.y200(1x)2 解析 一月份为200 t，二月份为200x200200(x1)t，三月份为200(x1)x200(x1)200
10、(x1)(x1)200(x1)2t，即y200(x1)2.,D,4.用长度为24 m的材料围成一矩形场地，并且 中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为( ) A.3 m B.4 m C.6 m D.12 m,S矩形x(122x)2x212x2(x3)218. 当x3 m时，矩形的面积最大.,A,1,2,3,4,5,x,5.一个水池有60 m3水，现要将水池中的水排出， 如果排水管每小时排出的水量为3 m3，则水池中余水量Q与排水时间t之间的函数关系式为_. 解析 排水管每小时排出的水量为3 m3， t小时排出的水量为3t m3(t0). 水池中原有水60 m3， 3t60，t20， 水池中余水量Q603t(0t20).,Q603t(0t20),5,1,2,3,4,课堂小结 1.解有关函数的应用题，首先应考虑选择哪一种函数作为模型，然后建立其解析式.求解析式时，一般利用待定系数法，要充分挖掘题目的隐含条件，充分利用函数图形的直观性. 2.数学建模的过程图示如下：,