1、2.1 函 数 2.1.4 函数的奇偶性,学习目标 1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义. 2.掌握判断函数奇偶性的方法，了解奇偶性与函数图象对称性之间的关系. 3.会利用函数的奇偶性解决简单问题.,1,预习导学 挑战自我，点点落实,2,课堂讲义 重点难点，个个击破,3,当堂检测 当堂训练，体验成功,知识链接 1.关于y轴对称的点的坐标，横坐标 ，纵坐标 ；关于原点对称的点的坐标，横坐标 ，纵坐标 . 2.如图所示，它们分别是哪种对称的图形？答案 第一个既是轴对称图形、又是中心对称图形，第二个和第三个图形为轴对称图形.,互为相反数,互为相反数,相等,互为相反数,3.观察函数f(x)x和f(x
2、) 的图象(如图)，你能发现两个函数图象有什么共同特征吗？,答案 图象关于原点对称.,预习导引 1.函数奇偶性的定义 (1)奇函数：设函数yf(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有xD，且f(x) ，则这个函数叫做奇函数. (2)设函数yg(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有xD，且g(x) ，则这个函数叫做偶函数.,g(x),f(x),2.奇、偶函数图象的对称性 (1)奇函数的图象关于 成中心对称图形，反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是 . (2)偶函数的图象是以 为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图象关于y轴对称，则这个
3、函数是 .,偶函数,原点,奇函数,y轴,要点一 判断函数的奇偶性 例1 判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)2|x|； 解 函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，又f(x)2|x|2|x|f(x)， f(x)为偶函数.,解 函数f(x)的定义域为1,1，关于原点对称，且f(x)0，又f(x)f(x)，f(x)f(x)， f(x)既是奇函数又是偶函数.,解 函数f(x)的定义域为x|x1，不关于原点对称， f(x)是非奇非偶函数.,解 f(x)的定义域是(，0)(0，)，关于原点对称. 当x0时，x0， f(x)1(x)1xf(x). 综上可知，对于x(，0)(0，)，都有f(x)f(x)，
4、f(x)为偶函数.,规律方法 判断函数奇偶性的方法：(1)定义法：若函数定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数；若函数定义域关于原点对称，则应进一步判断f(x)是否等于f(x)，或判断f(x)f(x)是否等于0，从而确定奇偶性.(2)图象法：若函数图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y轴对称，则函数为偶函数.(3)分段函数的奇偶性应分段说明f(x)与f(x)的关系，只有当对称区间上的对应关系满足同样的关系时，才能判定函数的奇偶性.,跟踪演练1 (1)下列函数为奇函数的是( ),解析 A、D两项，函数均为偶函数，B项中函数为非奇非偶函数，而C项中函数为奇函数.,C,(2)若f(x
5、)ax2bxc(a0)是偶函数，则g(x)ax3bx2cx是( ) A.奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数 D.既是奇函数又是偶函数 解析 f(x)ax2bxc是偶函数， f(x)f(x)，得b0.g(x)ax3cx. g(x)a(x) 3c(x)g(x)， g(x)为奇函数.,A,要点二 利用函数奇偶性研究函数的图象 例2 已知奇函数f(x)的定义域为5,5，且在区间0,5上的图象如下图所示，则使函数值y0的x的取值集合为_.,解析 因为函数f(x)是奇函数，所以yf(x)在5,5上的图象关于原点对称.由yf(x)在0,5上的图象，可知它在5,0上的图象，如图所示.由图象知，使函数值y0时
6、此函数为增函数，又该函数为奇函数.,D,1,2,3,4,5,3.函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)x1，则当x0时，f(x)的解析式为( ) A.f(x)x1 B.f(x)x1 C.f(x)x1 D.f(x)x1 解析 设x0，则x0.f(x)x1，又函数f(x)是奇函数.f(x)f(x)x1，f(x)x1(x0).,B,1,2,3,4,5,4.已知函数yf(x)为偶函数，其图象与x轴有四个交点，则方程f(x)0的所有实根之和是( ) A.0 B.1 C.2 D.4 解析 由偶函数的图象关于y轴对称，所以偶函数的图象与x轴的交点也关于y轴对称，因此，四个交点中，有两个在x轴的负半轴上，另两个在x轴的正半轴上，所以四个实根的和为0.,A,1,2,3,4,5,5.若f(x)(xa)(x4)为偶函数，则实数a_. 解析 由f(x)(xa)(x4) 得f(x)x2(a4)x4a，若f(x)为偶函数， 则a40，即a4.,5,1,2,3,4,4,课堂小结 1.定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的一个条件，f(x)f(x)或f(x)f(x)是定义域上的恒等式.,3.(1)若f(x)0且f(x)的定义域关于原点对称，则f(x)既是奇函数又是偶函数. (2)奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性；偶函数在对称的两个区间上有相反的单调性.,