1、2.3 变量的相关性,第二章 统 计,学习目标 1.了解变量间的相关关系，会画散点图. 2.根据散点图，能判断两个变量是否具有相关关系. 3.了解线性回归思想，会求回归直线的方程.,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,问题导学,思考1,知识点一 变量间的相关关系,粮食产量与施肥量间的相关关系是正相关还是负相关？,在施肥不过量的情况下，施肥越多，粮食产量越高，所以是正相关.,答案,思考2,怎样判断一组数据是否具有线性相关关系？,画出散点图，若点大致分布在一条直线附近，就说明这两个变量具有线性相关关系，否则不具有线性相关关系.,答案,1.相关关系的定义 变量间确实存在关系，但又不具备函数关系所
2、要求的确定性，它们的关系是带有 的，那么这两个变量之间的关系叫做相关关系，两个变量之间的关系分为 和 . 2.散点图 将样本中n个数据点(xi，yi)(i1,2，n)描在平面直角坐标系中得到的图形叫做散点图.,梳理,随机性,函数关系,相关关系,3.正相关与负相关 (1)正相关：如果一个变量的值由小变大时，另一个变量的值也由小变大，这种相关称为 . (2)负相关：如果一个变量的值由小变大时，另一个变量的值由大变小，这种相关称为 .,正相关,负相关,思考,知识点二 两个变量的线性相关,任何一组数据都可以由最小二乘法得出回归直线方程吗？,用最小二乘法求回归直线方程的前提是先判断所给数据是否具有线性相
3、关关系(可利用散点图来判断)，否则求出的回归直线方程是无意义的.,答案,梳理,回归直线方程 (1)回归直线：如果散点图中点的分布从整体上看大致在 附近，就称这两个变量之间具有 关系，这条直线叫做回归直线. (2)回归直线方程： 对应的方程叫做回归直线方程.,一条直线,线性相关,回归直线,斜率,截距,题型探究,命题角度1 判断两个变量的相关性 例1 为了研究质量对弹簧长度的影响，对6根相同的弹簧进行测量，所得数据如下：,解答,类型一 相关关系的判断与应用,判断它们是否有相关关系，若有，判断是正相关还是负相关.,散点图如图：由散点图可以看出两个变量对应的点大致分布在一条直线附近，因此可以得出结论：
4、质量与弹簧长度这两个变量具有相关关系，且它们是正相关关系.,在研究两个变量之间是否存在某种关系时，必须从散点图入手，对于散点图，可以作出如下判断： (1)如果所有的样本点都落在某一函数曲线上，那么就用该函数来描述变量之间的关系，即变量之间具有函数关系； (2)如果所有的样本点都落在某一直线附近，那么变量之间就有线性相关关系； (3)如果散点图中的点的分布几乎没有什么规律，那么这两个变量之间不具有相关关系，即两个变量之间是相互独立的.,反思与感悟,跟踪训练1 下表是某地的年降雨量与年平均气温的统计表，判断两者是否具有相关关系，求回归直线方程有意义吗？,解答,以x轴为年平均气温，y轴为年降雨量，可
5、得相应的散点图如图.,因为图中各点并不在一条直线的附近，所以两者不具有线性相关关系，没必要用回归直线进行拟合，即使用公式法求出回归直线方程也是没有意义的.,命题角度2 函数关系与相关关系的区别与联系 例2 下列两个变量之间的关系，哪个不是函数关系 A.正方体的棱长和体积 B.圆半径和圆的面积 C.正n边形的边数和内角度数之和 D.人的年龄和身高,答案,解析,A、B、C都是函数关系，对于A，Va3； 对于B，Sr2； 对于C，g(n)(n2).而对于年龄确定的不同的人可以有不同的身高，选D,相关关系与函数关系的区别与联系如表所示.,反思与感悟,跟踪训练2 下列图形中两个变量具有相关关系的是,答案
6、,解析,A是一种函数关系； B也是一种函数关系； C中从散点图中可看出所有点看上去都在某条直线附近波动，具有相关关系，而且是一种线性相关； D中所有的点在散点图中没有显示任何关系，因此变量间是不相关的.,例3 一台机器按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺点，每小时生产有缺点的零件的多少随机器运转速度的变化而变化，下表为抽样试验的结果：,类型二 回归直线的求解与应用,散点图如图所示.,(1)画出散点图；,解答,近似直线如图所示.,(2)如果y对x有线性相关关系，请画出一条直线近似地表示这种线性关系；,解答,由y10得 解得x14.9，所以机器的运转速度应控制在14转/秒内.,(3)在实际
7、生产中，若它们的近似方程为 允许每小时生产的产品中有缺点的零件最多为10件，那么机器的运转速度应控制在什么范围内？,解答,引申探究 1.本例(3)中近似方程不变，若每增加一个单位的转速，生产有缺点的零件数近似增加多少？,解答,2.本例(3)中近似方程不变，每小时生产有缺点的零件件数是7，估计机器的转速.,解答,求回归直线方程的一般步骤 (1)收集样本数据，设为(xi，yi)(i1,2，n)(数据一般由题目给出). (2)作出散点图，确定x，y具有线性相关关系.,反思与感悟,10,答案,解析,(2)为了均衡教育资源，加大对偏远地区的教育投入，调查了某地区若干户家庭的年收入x(单位：万元)和年教育
8、支出y(单位：万元)，调查显示年收入x与年教育支出y具有相关关系，并由调查数据得到y对x的回归直线方程为 0.15x0.2.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年教育支出平均增加_万元.,0.15,回归直线的斜率为0.15，所以家庭年收入每增加1万元，年教育支出平均增加0.15万元.,答案,解析,当堂训练,1.设有一个回归直线方程为 21.5x，则变量x增加1个单位时，y平均 A.增加1.5个单位 B.增加2个单位 C.减少1.5个单位 D.减少2个单位,2,3,4,5,1,答案,2.由三点(3,10)，(7,20)，(11,24)确定的回归直线方程为,答案,解析,2,3,4,5,1,
9、2,3,4,5,1,2,3,4,5,1,3.某地区近10年居民的年收入x与年支出y之间的关系大致符合 0.8x0.1(单位：亿元)，预计今年该地区居民收入为15亿元，则今年支出估计是_亿元.,12.1,答案,解析,根据统计资料，居民家庭年平均收入的中位数是_万元，家庭年平均收入与年平均支出有_线性相关关系.,2,3,4,5,1,4.某市居民20122016年家庭年平均收入x(单位：万元)与年平均支出y(单位：万元)的统计资料如表所示：,答案,解析,13,正,2,3,4,5,1,考查中位数的定义，奇数个时按大小顺序排列后中间一个是中位数，而偶数个时需取中间两数的平均数.由统计资料可以看出，当年平
10、均收入增多时，年平均支出也增多，因此两者之间具有正线性相关关系.,5.某5名学生的总成绩和数学成绩(单位：分)如表所示：,2,3,4,5,1,(1)画出散点图；,散点图如图所示：,2,3,4,5,1,解答,(2)求y对x的回归直线方程(结果保留到小数点后3位数字)；,由题中数据计算可得,2,3,4,5,1,解答,(3)如果一个学生的总成绩为450分，试预测这个学生的数学成绩.,由(2)得当总成绩为450分时， 12.0860.20445080，即这个学生的数学成绩大约为80分.,2,3,4,5,1,解答,规律与方法,1.判断变量之间有无相关关系，一种简便可行的方法就是绘制散点图.根据散点图，可以很容易看出两个变量是否具有相关关系，是不是线性相关，是正相关还是负相关. 2.求回归直线方程时应注意的问题 (1)知道x与y成线性相关关系，无需进行相关性检验，否则应首先进行相关性检验，如果两个变量之间本身不具有相关关系，或者说，它们之间的相关关系不显著，即使求出回归直线方程也是毫无意义的，而且用其估计和预测的量也是不可信的.,本课结束,