1、章末复习,第一章 数 列,学习目标 1.整合知识结构，梳理知识网络，进一步巩固、深化所学知识. 2.提高解决等差数列、等比数列问题的能力. 3.依托等差数列、等比数列解决一般数列的常见通项、求和等问题,知识梳理,达标检测,题型探究,内容索引,知识梳理,1.等差数列和等比数列的基本概念与公式,2.数列中的基本方法和思想 (1)在求等差数列和等比数列的通项公式时，分别用到了 法和 法； (2)在求等差数列和等比数列的前n项和时，分别用到了 法和_法； (3)等差数列和等比数列各自都涉及5个量，已知其中任意 个求其余_ 个，用到了方程思想； (4)在研究等差数列和等比数列单调性，等差数列前n项和最值
2、问题时，都用到了 思想.,累加,函数,累乘,倒序相加,错位,相减,三,两,思考辨析 判断正误 1.等差数列、等比数列的很多性质是相似的.( ) 2.一般数列问题通常要转化为等差数列、等比数列来解决.( ),题型探究,例1 设an是公比大于1的等比数列，Sn为数列an的前n项和.已知S37，且a13，3a2，a34构成等差数列. (1)求数列an的通项；,类型一 方程思想求解数列问题,q2，a11.故数列an的通项为an2n1(nN).,解答,(2)令bnln a3n1，n1，2，求数列bn的前n项和Tn.,解 由于bnln a3n1，n1，2， 由(1)得a3n123n，bnln 23n3nl
3、n 2. 又bn1bn3ln 2，bn是等差数列，,解答,反思与感悟 在等差数列和等比数列中，通项公式an和前n项和公式Sn共涉及五个量：a1，an，n，q(d)，Sn，其中首项a1和公比q(公差d)为基本量，“知三求二”是指将已知条件转换成关于a1，an，n，q(d)，Sn的方程组，通过方程的思想解出需要的量.,跟踪训练1 记等差数列的前n项和为Sn，设S312，且2a1，a2，a31成等比数列，求Sn.,解答,类型二 转化与化归思想求解数列问题,例2 在数列an中，Sn为数列an的前n项和，Sn14an2，a11.,证明,证明 Sn14an2， 当n2，nN时，Sn4an12. 得an14
4、an4an1. 方法一 对an14an4an1两边同除以2n1，得,数列cn是等差数列. 由Sn14an2，得a1a24a12，则a23a125，,方法二 an12an2an4an12(an2an1)， 令bnan12an， 则bn是以a22a14a12a12a13为首项，2为公比的等比数列， bn32n1，,(2) 求数列an的通项公式及前n项和的公式.,设Sn(31)21(321)20(3n1)2n2， 则2Sn(31)20(321)21(3n1)2n1， Sn2SnSn(31)213(20212n2)(3n1)2n1,解答,13(3n4)2n12(3n4)2n1. 数列an的通项公式为a
5、n(3n1)2n2， 前n项和公式为Sn2(3n4)2n1，nN.,反思与感悟 由递推公式求通项公式，要求掌握的方法有两种，一种求法是先找出数列的前几项，通过观察、归纳得出，然后证明；另一种是通过变形转化为等差数列或等比数列，再采用公式求出.,解答,解 a12a23a3nan (n1)Sn2n(nN)， 当n1时，a1212； 当n2时，a12a2(a1a2)4，a24； 当n3时，a12a23a32(a1a2a3)6，a38.,跟踪训练2 设数列an的前n项和为Sn，已知a12a23a3nan(n1)Sn2n(nN). (1)求a2，a3的值；,证明 a12a23a3nan(n1)Sn2n(
6、nN)， 当n2时，a12a23a3(n1)an1(n2)Sn12(n1). 得nan(n1)Sn(n2)Sn12 n(SnSn1)Sn2Sn12nanSn2Sn12. Sn2Sn120，即Sn2Sn12， Sn22(Sn12). S1240，Sn120，故Sn2是以4为首项，2为公比的等比数列.,(2)求证：数列Sn2是等比数列.,证明,类型三 函数思想求解数列问题,命题角度1 借助函数性质解数列问题 例3 已知等差数列an的首项a11，公差d0，且第2项、第5项、第14项分别是一个等比数列的第2项、第3项、第4项. (1)求数列an的通项公式；,解答,解 由题意得(a1d)(a113d)(
7、a14d)2， 整理得2a1dd2. a11，d0，d2. an2n1(nN).,解答,数列Sn是递增的.又tZ，适合条件的t的最大值为8.,反思与感悟 数列是一种特殊的函数，在求解数列问题时，若涉及参数取值范围、最值问题或单调性时，均可考虑采用函数的性质及研究方法指导解题.值得注意的是数列定义域是正整数集或1，2，3，n，这一特殊性对问题结果可能造成影响.,解答,解 设等比数列an的公比为q， 因为S3a3，S5a5，S4a4成等差数列， 所以S5a5S3a3S4a4S5a5，,跟踪训练3 已知首项为 的等比数列an不是递减数列，其前n项和为Sn(nN)，且S3a3，S5a5，S4a4成等差
8、数列. (1)求数列an的通项公式；,解答,(2)设TnSn (nN)，求数列Tn最大项的值与最小项的值.,当n为奇数时，Sn随n的增大而减小，,当n为偶数时，Sn随n的增大而增大，,综上，对于nN，,命题角度2 以函数为载体给出数列 例4 已知函数f(x)2|x|，无穷数列an满足an1f(an)，nN. (1)若a10，求a2，a3，a4；,解答,解 由an1f(an)，得an12|an|， a10，a22，a30，a42.,(2|a1|)2a1(2|2|a1|)，即(2a1)2a1(2|2a1|).,解得a11，且a12； 当2a10时，(2a1)2a12(a12)a1(4a1)，,(2
9、)若a10，且a1，a2，a3成等比数列，求a1的值.,解答,反思与感悟 以函数为载体给出数列，只需代入函数式即可转化为数列问题.,解答,(2)令Tna1a2a2a3a3a4a4a5a2na2n1，求Tn.,解答,解 Tna1a2a2a3a3a4a4a5a2na2n1 a2(a1a3)a4(a3a5)a2n(a2n1a2n1),达标检测,答案,解析,1.设数列an是公差不为零的等差数列，Sn是数列an的前n项和(nN)，且 9S2，S44S2，则数列an的通项公式是_.,1,2,3,解析 设等差数列an的公差为d，由前n项和的概念及已知条件得9(2a1d)， 4a16d4(2a1d ). 由得
10、d2a1，代入有 36a1， 解得a10或a136. 又d0，所以a10不符合题意，舍去. 因此a136，d72， 故数列an的通项公式为an36(n1)7272n3636(2n1).,an36(2n1),答案,解析,1,2,3,an3n16,3,所以当n3时，nan的值最小.,1,2,3,答案,解析,4 035,数列an是以1为首项，2为公差的等差数列， an2n1，a2 0184 035.,1.等差数列与等比数列是高中阶段学习的两种最基本的数列，也是高考中经常考查并且重点考查的内容之一，这类问题多从数列的本质入手，考查这两种基本数列的概念、基本性质、简单运算、通项公式、求和公式等问题. 2.数列求和的方法：一般的数列求和，应从通项入手，若无通项，先求通项，然后通过对通项变形，转化为与特殊数列有关或具备某种方法适用特点的形式，从而选择合适的方法求和.,规律与方法,