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北师大版高中数学必修五课件:3.4.3 简单线性规划的应用

1、4.3 简单线性规划的应用,第三章 不等式,学习目标 1.体会用线性规划的方法解决实际问题的过程. 2.了解整数点最优解的求法.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,知识点一 线性规划在实际中的应用,思考 某农户计划种植黄瓜和韭菜,种植面积不超过50亩,投入资金不超过54万元,假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表:,为使一年的种植总利润(总利润总销售收入总种植成本)最大,应怎样安排生产. 在这一问题中,种植成本和种植总利润与哪些变量有关?如何用这些变量表示种植成本和总利润?,答案,答案 种植成本和总利润都与黄瓜、韭菜各自的种植面积有关. 设黄瓜、韭菜各种x,y亩, 则种植成

2、本1.2x0.9y,总利润40.55x60.3y(1.2x0.9y).,梳理 解答线性规划应用题的一般步骤 (1)审题仔细阅读,对关键部分进行“精读”,准确理解题意,明确有哪些限制条件,起关键作用的变量有哪些,由于线性规划应用题中的量较多,为了理顺题目中量与量之间的关系,有时可借助表格来理顺. (2)转化设元.写出约束条件和目标函数,从而将实际问题转化为数学上的线性规划问题. (3)求解解这个纯数学的线性规划问题. (4)作答就应用题提出的问题作出回答.,知识点二 整数点最优解,思考 在下面的问题中: 某学校用800元购买A,B两种教学用品,A种用品每件100元,B种用品每件160元,两种用品

3、至少各买一件,要使剩下的钱最少,设A,B两种用品各买的件数为x,y. (1)x,y能取1.5,1.3之类的小数吗?(2)该问题的可行域是连续的区域吗?,答案,答案 不能.,答案 不是.可行域是由整数点组成.,梳理 (1)在实际问题中,有些变量如人数、车辆数等必须取整数.在这样的线性规划问题中,可行域、最优解都会受到影响. (2)寻找整点最优解的三种方法 平移找解法:先打网格,描整点,平移直线l,最先经过或最后经过的整点便是最优整点解,这种方法应充分利用非整点最优解的信息,结合精确的作图才行,当可行域是有限区域且整点个数又较少时,可逐个将整点坐标代入目标函数求值,经比较求最优解.,小范围搜寻法:

4、即在求出的非整点最优解附近的整点都求出来,代入目标函数,直接求出目标函数的最大(小)值. 调整优值法:先求非整点最优解及最优值,再调整最优值,最后筛选出整点最优解.,思考辨析 判断正误 1.在从实际问题中抽象出约束条件、目标函数时,设谁为x,y都没关系.( ) 2.在约束条件中,有没有“xN,yN”,最优解都一样.( ),题型探究,类型一 连续型变量的实际线性规划,例1 营养专家指出,成人良好的日常饮食应该至少提供0.075 kg的碳水化合物,0.06 kg的蛋白质,0.06 kg的脂肪,1 kg食物A含有0.105 kg碳水化合物,0.07 kg蛋白质,0.14 kg 脂肪,花费28元;而1

5、 kg食物B含有0.105 kg碳水化合物,0.14 kg蛋白质,0.07 kg脂肪,花费21元.为了满足营养专家指出的日常饮食要求,同时使花费最低,需要同时食用食物A和食物B各多少kg? 将已知数据列成下表:,解答,目标函数为z28x21y. 作出二元一次不等式组所表示的平面区域,如图阴影部分所示,,解 设每天食用x kg食物A,y kg食物B,总成本为z,,由图可知,当直线z28x21y经过可行域上的点M时, 截距最小,即z最小.,反思与感悟 在把实际问题抽象成线性规划时,要注意找到决策变量,并用决策变量表示每一个约束条件和目标函数.,答案,解析,跟踪训练1 某厂拟用集装箱托运甲、乙两种货

6、物,集装箱的体积、重量、可获利润和托运能力等限制数据列在下表中,那么为了获得最大利润,甲、乙两种货物应各托运的箱数为_.,4,1,目标函数z20x10y,画出可行域如图阴影部分所示.,易知当直线z20x10y平移经过点A时,z取得最大值, 即甲、乙两种货物应各托运的箱数分别为4和1时,可获得最大利润.,解答,类型二 离散型变量的线性规划问题,例2 某工厂制造甲、乙两种家电产品,其中每件甲种家电需要在电器方面加工6小时,装配加工1小时,每件甲种家电的利润为200元;每件乙种家电需要在外壳配件方面加工5小时,在电器方面加工2小时,装配加工1小时,每件乙种家电的利润为100元.已知该工厂可用于外壳配

7、件方面加工的能力为每天15小时,可用于电器方面加工的能力为每天24小时,可用于装配加工的能力为每天5小时.问该工厂每天制造两种家电各几件,可使获取的利润最大?(每天制造的家电件数为整数),解 设该工厂每天制造甲、乙两种家电分别为x件,y件,获取的利润为z百元,,作出可行域,如图阴影部分中的整点,,平移直线y2xz,又x,yN,所以当直线过点(3,2)或(4,0)时,z有最大值. 所以工厂每天制造甲种家电3件,乙种家电2件或仅制造甲种家电4件,可获利最大.,反思与感悟 在实际应用问题中,有些最优解往往需要整数解(比如人数、车辆数等),而直接根据约束条件得到的不一定是整数解,可以运用列举法验证求最

8、优整数解,或者运用平移直线求最优整数解.最优整数解有时并非只有一个,应具体情况具体分析.,跟踪训练2 预算用2 000元购买单价为50元的桌子和20元的椅子,希望使桌子和椅子的总数尽可能的多,但椅子数不少于桌子数,且不多于桌子数的1.5倍,问桌子、椅子各买多少才是最好的选择?,解答,解 设桌子、椅子分别买x张,y把,目标函数为zxy,把所给的条件表示成不等式组,,故买桌子25张,椅子37把是最好的选择.,达标检测,答案,1,2,3,解析,1.某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘.根据需要,软件至少买3片,磁盘至少买2盒,则不同的选购方式共有 A

9、.5种 B.6种 C.7种 D.8种,1,2,3,落在阴影部分(含边界)区域的整点有(3,2),(3,3),(3,4),(4,2),(4,3),(5,2),(6,2)共7个整点.即有7种选购方式.,解析 设购买软件x片,磁盘y盒,,解析 设截518 mm和698 mm的两种毛胚分别为x个、y个(x,yN). 由题意知,即求z518x698y的最大值.,2.一批长400 cm的条形钢材,需要将其截成518 mm与698 mm的两种毛胚,则钢材的最大利用率为_.,99.65%,又由z4 000,得当x5,y2时, zmax518569823 986.,1,2,3,解析,答案,1,2,3,解析,答案

10、,3.某公司租赁甲、乙两种设备生产A,B两类产品,甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件,乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件.已知设备甲每天的租赁费为200元,设备乙每天的租赁费为300元,现该公司至少要生产A类产品50件,B类产品140件,所需租赁费最少为_元.,2 300,1,2,3,目标函数为z200x300y. 作出其可行域(图略), 易知当x4,y5时,z200x300y有最小值2 300.,1.解答线性规划实际应用题的步骤 (1)模型建立:正确理解题意,将一般文字语言转化为数学语言,进而建立数学模型,这需要在学习有关例题解答时,仔细体会范例给出的模型建立方法. (2)模型求解:画出可行域,并结合所建立的目标函数的特点,选定可行域中的特殊点作为最优解. (3)模型应用:将求解出来的结论反馈到具体的实例中,设计出最佳的方案. 2.在实际应用问题中,有些最优解往往需要整数解(比如人数、车辆数等),应结合可行域与目标函数微调.,规律与方法,