1、2.1 一元二次不等式的解法,第三章 2 一元二次不等式,学习目标 1.理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系. 2.掌握图像法解一元二次不等式. 3.会对含参数的一元二次不等式分类讨论.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,知识点一 一元二次不等式的概念,思考 我们知道，方程x21的一个解是x1，解集是1，1，解集中的每一个元素均可使等式成立.那么什么是不等式x21的解？你能举出一个解吗？你能写出不等式x21的解集吗？,答案,答案 能使不等式x21成立的x的值，都是不等式的解，如x2. 不等式x21的解集为x|x1，该集合中每一个元素都是不等式的解，而不等式的每一个解
2、均属于该不等式的解集.,梳理 (1)形如ax2bxc0(0)或ax2bxc0(0)的不等式(其中a0)，叫作一元二次不等式. (2)使某个一元二次不等式成立的x的值叫这个一元二次不等式的解. (3)一元二次不等式的所有解组成的集合，叫作一元二次不等式的解集.,知识点二 “三个二次”的关系,一元二次不等式与相应的一元二次方程、二次函数的联系如下表.,有两相异实根 x1，x2(x1x2),有两相等实根,x|xx2,x|x1x3x.,答案,答案 先化为x23x20. 方程x23x20的根x11，x22， 原不等式的解集为x|x2.,梳理 解一元二次不等式的步骤 (1)化为基本形式ax2bxc0或ax
3、2bxc0)； (2)计算b24ac，以确定一元二次方程ax2bxc0是否有解； (3)有根求根； (4)根据图像写出不等式的解集.,思考辨析 判断正误 1.mx25x0，即求横坐标x取哪些值时，函数yax2bxc的图像在x轴上方.( ) 3.解不等式的结果要写成集合形式的原因是集合的元素具有确定性，可以严谨地界定哪些元素是解，哪些不是.( ),题型探究,命题角度1 二次项系数大于0 例1 求不等式4x24x10的解集.,类型一 一元二次不等式的解法,解答,解 因为(4)24410，,反思与感悟 当所给不等式是非一般形式的不等式时，应先化为一般形式，在具体求解一个一般形式的一元二次不等式的过程
4、中，要密切结合一元二次方程的根的情况以及二次函数的图像.,跟踪训练1 求不等式2x23x20的解集.,解答,命题角度2 二次项系数小于0 例2 解不等式x22x30.,解答,解 不等式可化为x22x30. 因为(2)24382的解集.,解答,解 不等式可化为3x26x20，,命题角度3 含参数的一元二次不等式 例3 解关于x的不等式ax2(a1)x10.,解答,反思与感悟 解含参数的不等式，可以按常规思路进行：先考虑开口方向，再考虑判别式的正负，最后考虑两根的大小关系，当遇到不确定因素时再讨论.,跟踪训练3 解关于x的不等式(xa)(xa2)0.,解 当a0或a1时，有aa2，此时，不等式的解
5、集为x|axa2； 当0a1时，有a2a，此时，不等式的解集为x|a2xa； 当a0或a1时，原不等式无解. 综上，当a0或a1时，原不等式的解集为x|axa2； 当0a1时，原不等式的解集为x|a2xa； 当a0或a1时，解集为.,解答,类型二 “三个二次”间对应关系的应用,例4 已知关于x的不等式x2axb0的解集.,解 由不等式x2axb0的解集为x|1x0，即2x23x10.,解答,反思与感悟 给出一元二次不等式的解集，相当于知道了相应二次函数的开口方向及与x轴的交点，可以利用代入根或根与系数的关系求待定系数.,解 方法一 由题设条件知a0，且1,2是方程ax2bx20的两实根.,跟踪
6、训练4 已知不等式ax2bx20的解集为x|1x0的解集是,解析 2x2x1(2x1)(x1)， 由2x2x10，得(2x1)(x1)0，,答案,1,2,3,4,解析,解析 由题意可知7和1为方程ax28ax210的两个根.,1,2,3,4,解析,2.若不等式ax28ax210的解集是x|7x1，那么a的值是 A.1 B.2 C.3 D.4,答案,答案,1,2,3,3.不等式x2x20的解集为_.,4,解析,解析 由x2x20，得2x1， 故其解集为x|2x1.,答案,x|2x1,1,2,3,4,4.解关于x的不等式：x2(1a)xa0.,解答,解 方程x2(1a)xa0的解为x11，x2a.
7、 因为函数yx2(1a)xa的图像开口向上，所以 当a1时，原不等式的解集为x|1x0(a0)或ax2bxc0)； 求方程ax2bxc0(a0)的根，并画出对应函数yax2bxc图像的简图； 由图像得出不等式的解集. (2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解. 当m0，则可得解集为x|xn或xm；,规律与方法,若(xm)(xn)0，则可得x|mxn. 有口诀如下：大于取两边，小于取中间. 2.解含参数的一元二次不等式，仍可按以前的步骤，即第一步先处理二次项系数，第二步通过分解因式或求判别式来确定一元二次方程有没有根，第三步若有根，区分根的大小写出解集，若无根，结合图像确定解集是R还是. 在此过程中，因为参数的存在导致二次函数开口方向、判别式正负、两根大小不确定时，为了确定展开讨论. 3.由一元二次不等式的解集可以逆推二次函数的开口及与x轴的交点坐标.,