1、3 解三角形的实际应用举例,第二章 解三角形,学习目标 1.准确理解仰角、俯角、方向角等概念. 2.掌握一些常见问题的测量方案. 3.培养把实际问题抽象为数学问题的能力,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,知识点一 常用角,思考 试画出“北偏东60”和“南偏西45”的示意图,答案,答案,梳理 在解决实际问题时常会遇到一些有关角的术语，请查阅资料后填空： (1)方向角 指北或指南方向线与目标方向所成的小于 度的角 (2)仰角与俯角 与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平线 时叫仰角，目标视线在水平线 时叫俯角.(如下图所示),90,上方,下方,知识点二
2、 测量方案,思考 如何不登月测量地月距离？,答案,答案 可以在地球上选两点，与月亮构成三角形，测量地球上两点的距离和这两点看月亮的视角，通过解三角形求得地月距离,梳理 测量某个量的方法有很多，但是在实际背景下，有些方法可能没法实施，比如解决不能到达的实际测量问题这个时候就需要设计方案绕开障碍间接地达到目的设计测量方案的基本任务是把目标量转化为可测量的量，并尽可能提高精确度一般来说，基线越长，精确度越高,知识点三 把实际问题抽象为数学问题,思考 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西方向行驶，到A处时测得公路北侧远处一山顶D在北偏西75的方向上，行驶5 km后到达B处，测得此山顶在北偏西65的方
3、向上，仰角为8，怎样求此山的高度CD？该问题的数学本质是什么？,答案,问题本质如图，已知三棱锥DABC，DC平面ABC，ABm，用，m，表示DC的长,梳理 解与三角形有关的应用题的步骤 (1)准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解应用题中的有关名词和术语 (2)画出示意图，并将已知条件在图形中标出 (3)分析与所研究的问题有关的一个或几个三角形，通过合理运用正弦定理和余弦定理正确求解，并作答,思考辨析 判断正误 1在方向角中，始边一定是南或北，旋转方向一定是顺时针.( ) 2在仰角或俯角中，视线与水平线的关系实质是斜线与斜线在水平面内的射影.( ),题型探究,命题角度1 水平平面内的测量问题
4、,类型一 平面内的测量问题,解答,B点在C点的正东方向上， CBD9030120，,又BCD(0，60)，BCD30， 缉私船沿北偏东60的方向行驶 又在BCD中，CBD120，BCD30，,缉私船应沿北偏东60的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要15分钟,反思与感悟 解决航海问题一要搞清方位角(方向角)，二要弄清不动点(三角形顶点)，然后根据条件，画出示意图，转化为解三角形问题,解 如图所示设经过t小时两船在C点相遇， 则在ABC中，BCat 海里， B9030120，,0CAB60，CAB30， DAC603030， 甲船应沿着北偏东30的方向前进，才能最快与乙船相遇,解答,命题角度2
5、 竖直平面内的测量问题 例2 如图所示，D，C，B在地平面同一直线上，DC10 m，从D，C两地测得A点的仰角分别为30和45，则A点离地面的高AB等于,答案,解析,解析 方法一 设ABx m，则BCx m.,方法二 ACB45，ACD135， CAD1801353015.,反思与感悟 (1)底部可到达，此类问题可直接构造直角三角形 (2)底部不可到达，但仍在同一与地面垂直的平面内，此类问题中两次观测点和所测垂线段的垂足在同一条直线上，观测者一直向“目标物”前进,解析 如图，过点D作DEAC交BC于点E， 因为DAC20， 所以ADE160， 于是ADB36016065135. 又BAD352
6、015，所以ABD30.,跟踪训练2 某登山队在山脚A处测得山顶B的仰角为35，沿倾斜角为20的斜坡前进1 000 m后到达点D处，又测得山顶的仰角为65，则山的高度为_ m(精确到1 m),811,在RtABC中，BCABsin 35811(m)答 山的高度约为811 m.,答案,解析,类型二 空间中的测量问题,例3 如图所示，A，B是水平面上的两个点，相距800 m，在A点处测得山顶C的仰角为45，BAD120，又在B点处测得ABD45，其中D点是点C到水平面的垂足，求山高CD.,解 由于CD平面ABD，CAD45，所以CDAD. 因此只需在ABD中求出AD即可， 在ABD中，BDA180
7、4512015，,解答,反思与感悟 测量方向角求高度问题特点：底部不可到达，且涉及与地面垂直的平面，观测者两次观测点所在直线不经过“目标物”，解决办法是把目标高度转化为地平面内某一个量，从而把空间问题转化为平面内解三角形问题,解析 在BCD中，CD10 m，BDC45， BCD1590105，DBC30，,答案,解析,跟踪训练3 如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60，再由点C沿北偏东15方向走10 m到位置D，测得BDC45，则塔AB的高是,达标检测,答案,1,2,3,4,解析,1.如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者与A在河的
8、同侧，在所在的河岸边先确定一点C，测出A，C的距离为50 m，ACB45，CAB105后，就可以计算出A，B两点的距离为,解析 由余弦定理，得x293x13， 整理得x23x40，解得x4或x1(舍).,1,2,3,4,解析,答案,4,答案,1,2,3,3.如图，为了测量A，C两点间的距离，选取同一平面上B，D两点，测出四边形ABCD各边的长度(单位：km)：AB5，BC8，CD3，DA5，A，B，C，D四点共圆，则AC的长为_ km.,4,答案,解析,解析 因为A，B，C，D四点共圆，所以DB. 在ABC和ADC中， 由余弦定理可得8252285cos(D) 3252235cos D，故AC
9、7.,7,1,2,3,4,4.如图，测量河对岸的塔高AB时，选取与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得BCD15，BDC30，CD30米，并在点C测得塔顶A的仰角为60，则塔高AB_米.,答案,解析,解析 在BCD中，CBD1801530135.,1.运用正弦定理就能测量“一个可到达点与一个不可到达点间的距离”，而测量“两个不可到达点间的距离”要综合运用正弦定理和余弦定理.测量“一个可到达点与一个不可到达点间的距离”是测量“两个不可到达点间的距离”的基础，这两类测量距离的题型间既有联系又有区别. 2.空间中的测量问题通常都是通过射影化归为平面内的测量问题.,规律与方法,3.正弦、余弦定理在实际测量中的应用的一般步骤：(1)分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图； (2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型； (3)求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解； (4)检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解.,