1、2 三角形中的几何计算,第二章 解三角形,学习目标 1.能够运用正弦定理、余弦定理处理三角形中的计算问题. 2.能够运用正弦定理、余弦定理进行平面几何中的推理与证明,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,知识点一 平面图形中的计算问题,答案,答案 画出图形(如右图)； 理清已知条件，要求的目标； 根据条件目标寻求通过解三角形凑齐缺失条件,梳理 对于平面图形的长度、角度、面积等计算问题，首先要把所求的量转化到三角形中，然后选用正弦定理、余弦定理解决构造三角形时，要注意使构造三角形含有尽量多个已知量，这样可以简化运算,知识点二 平面图形中的最值问题,思考 问题：直线x2y2k0与直线2
2、x3yk0的交点在圆x2y29上或圆的内部，如何求k的最大值？,答案,答案 先求出两直线交点坐标(4k，3k)，再把约束条件“点在圆上或内部”转化为代数式(4k)2(3k)29，从中求得k的最大值为,梳理 类似地，对于求平面图形中的最值问题，首先要选用恰当的变量，然后选择正弦定理或余弦定理建立待求量与变量间的函数关系，借助于三角函数的相关知识求最值,思考辨析 判断正误 1.三角形中的几何计算通常都转化为解一个或几个三角形的问题.( ) 2.平面图形中的最值问题若能转化为Asin(x)B的形式，且最大值一定是AB.( ),题型探究,例1 如图所示，在四边形ABCD中，ADCD，AD10，AB14
3、，BDA60，BCD135，求BC的长,类型一 四边形有关的几何图形计算问题,解答,解 在ABD中，由余弦定理，得AB2AD2BD22ADBDcosADB， 设BDx，则有142102x2210xcos 60， x210x960， x116，x26(舍去)， BD16.,反思与感悟 解决此类问题的关键是将已知条件转化为三角形的边角关系，再利用正弦、余弦定理求解,跟踪训练1 如图，ACD是等边三角形，ABC是等腰直角三角形，ACB90，BD交AC于E，AB2. (1)求cosCBE的值；,解答,解 BCD9060150，CBACCD， CBE15，,(2)求AE.,解答,解 在ABE中，AB2，
4、,类型二 三角形有关的几何图形计算问题,解答,设BEx，在BDE中，利用余弦定理， 可得BD2BE2ED22BEEDcosBED，,在ABC中，利用余弦定理，,反思与感悟 三角形有关的几何图形计算问题在筹备解三角形所需条件时，通常要利用平面几何的相关结论，如中位线、角平分线、高线、相似、平行等,解答,跟踪训练2 如图所示，在ABC中，已知BC15，ABAC78，sin B ，求BC边上的高AD的长,解 在ABC中，由已知设AB7x，AC8x，x0，,又07x，知B也为钝角，不合题意， 故C120. C60.,由余弦定理，得(7x)2(8x) 215228x15cos 60， x28x150，
5、解得x3或x5. AB21或AB35.,类型三 边长、面积的最值问题,解答,反思与感悟 求三角形面积的取值时，我们一般先求出面积与三角形的边(或角)之间的函数关系式(注意消元)，再利用三角函数的有界性、二次函数等方法来求面积的最值,解答,所以ab2Rsin A2Rsin B2(sin Asin B),(2)求ab的最大值,解答,达标检测,答案,1,2,3,4,5,解析,解析 设BC边上的高AD交BC于点D，,2.在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a1，B45，SABC2，则ABC的外接圆直径为,1,2,3,4,5,解析,答案,答案,1,2,3,3.设A是ABC中最小的内角，则
6、sin Acos A的取值范围是,4,5,答案,解析,解析 在ADC中，AD10，AC14，DC6，,1,2,3,4,5,答案,解析,5.已知ABBD，ACCD，AC1，AB2，BAC120，求BD的长.,解 如图，连接BC，,解答,1,2,3,4,5,1.解决几何图形中的计算问题的关键是根据题意画出图形，将图形中的已知条件与未知量之间的关系转化为三角形中的边与角的关系，求解三角形，使问题获解. 2.三角形问题中，常涉及求边、求角及求面积等问题，用正、余弦定理作为解题的工具进行转化求解.在涉及变量取值范围或最值问题时，常常用到函数等数学相关知识. 3.解三角形时，角的取值范围至关重要，角的取值范围往往隐含在题目中，不深入挖掘很容易出错.,规律与方法,