1、第2课时 余弦定理的变形及应用,第二章 1.2 余弦定理,学习目标 1.熟练掌握余弦定理及其变形形式. 2.会用余弦定理解三角形. 3.能利用正弦定理、余弦定理解决有关三角形的恒等式化简、证明及形状判断等问题,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,知识点一 余弦定理及其推论,1.a2 ，b2 ，c2 .2.cos A ；cos B ；cos C . 3.在ABC中，c2a2b2C为 ；c2a2b2C为 ；c20时，三角形ABC为锐角三角形.( ),题型探究,例1 已知在ABC中，a8，b7，B60，求c.,类型一 利用余弦定理解已知两边及其中一边的对角的三角形,解答,解 由余弦定理
2、b2a2c22accos B， 得7282c228ccos 60， 整理得c28c150，解得c3或c5.,引申探究 本例条件不变，用正弦定理求c.,解答,反思与感悟 相对于用正弦定理解此类题，用余弦定理不必考虑三角形解的个数，解出几个是几个.,解析 由余弦定理a2b2c22bccos A，即c2c20， c2或c1(舍).,答案,解析,类型二 余弦定理的变形及应用,例2 在ABC中，若(ac)(ac)b(bc)，则A .,答案,解析,解析 a2c2b2bc，b2c2a2bc，又A(0，)，,反思与感悟 只有熟悉余弦定理及其变形，才能敏锐地抓住条件中与余弦定理及变形相似的地方，从而对条件进行有
3、目的地变形.,a2b2c2，符合勾股定理. ABC为直角三角形.,答案,解析,证明,类型三 利用正弦、余弦定理证明三角形中的恒等式,例3 在ABC中，有 (1)abcos Cccos B； (2)bccos Aacos C； (3)cacos Bbcos A， 这三个关系式也称为射影定理，请给出证明.,证明 方法一 (1)由正弦定理，得a2Rsin A， b2Rsin B，c2Rsin C，(R为ABC的外接圆半径)， bcos Cccos B2Rsin Bcos C2Rsin Ccos B 2R(sin Bcos Ccos Bsin C) 2Rsin(BC) 2Rsin Aa. 即abcos
4、 Cccos B. 同理可证(2)bccos Aacos C. (3)cacos Bbcos A.,abcos Cccos B. 同理可证(2)bccos Aacos C. (3)cacos Bbcos A.,反思与感悟 证明三角形中边角混合关系恒等式，可以考虑两种途径：一是把角的关系通过正弦、余弦定理转化为边的关系，正弦借助正弦定理转化，余弦借助余弦定理转化；二是通过正弦定理把边的关系转化为角的关系.,证明,等式成立.,等式成立.,达标检测,答案,1,2,3,4,解析,1.在ABC中，若b2a2c2ac，则B等于 A.60 B.45或135 C.120 D.30,解析 b2a2c22acco
5、s Ba2c2ac，又0B180， B120.,解析 由方程可得(sin Asin C)x22xsin Bsin Asin C0. 方程有两个不等的实根， 4sin2B4(sin2Asin2C)0.代入不等式中得b2a2c20， 再由余弦定理，有2bccos Ab2c2a20. 0A90.,2.在ABC中，关于x的方程(1x2)sin A2xsin B(1x2)sin C0有两个不等的实根，则A为 A.锐角 B.直角 C.钝角 D.不存在,1,2,3,4,解析,答案,答案,1,2,3,3.如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m，50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端
6、A看建筑物CD的张角为 .,4,答案,解析,又CD50 m，所以在ACD中，又0CAD180，所以CAD45， 所以从顶端A看建筑物CD的张角为45.,45,1,2,3,4,解答,4.在ABC中，若B30，AB ，AC2，则满足条件的三角形有几个？,解 设BCa，ACb，ABc， 由余弦定理b2a2c22accos B，即a26a80， 解得a2或a4.满足条件的三角形有两个.,1.已知两边及其中一边的对角解三角形，一般情况下，利用正弦定理求出另一边所对的角，再求其他的边或角，要注意进行讨论.如果采用余弦定理来解，只需解一个一元二次方程，即可求出边来，比较两种方法，采用余弦定理较简单. 2.对所给条件进行变形，主要有两种途径： (1)化边为角. (2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理进行边、角转换.,规律与方法,