1、第1课时 余弦定理及其直接应用,第二章 1.2 余弦定理,学习目标 1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法. 2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,知识点一 余弦定理,答案,思考1 根据勾股定理，若在ABC中，C90，则c2a2b2a2b22abcos C 试验证式对等边三角形还成立吗？你有什么猜想？,答案 当abc时，C60， a2b22abcos Cc2c22cccos 60c2， 即式仍成立，据此猜想，对一般ABC，都有c2a2b22abcos C.,思考2 在c2a2b22abcos C中，abcos C能解释为
2、哪两个向量的数量积？你能由此证明思考1的猜想吗？,答案,猜想得证,梳理 余弦定理的公式表达及语言叙述,b2c22bccos A,a2c22accos B,a2b22abcos C,其他两边的平方的和减去这两 边与它们的夹角的余弦的积的两倍,特别提醒：余弦定理的特点 (1)适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立 (2)揭示的规律：余弦定理指的是三角形中的三条边与其中一个角的余弦之间的关系，它含有四个不同的量，知道其中的三个量，就可求得第四个量,知识点二 适宜用余弦定理解决的两类基本的解三角形问题,思考1 观察知识点一梳理表格第一行中的公式结构，其中等号右边涉及几个量？你认为可用来解哪类三角形？,
3、答案,答案 每个公式右边都涉及三个量，两边及其夹角.故如果已知三角形的两边及其夹角，可用余弦定理解三角形,思考2 观察知识点一梳理表格第三行中的公式结构，其中等号右边涉及几个量？你认为可用来解哪类三角形？,答案,答案 每个公式右边都涉及三个量，即三角形的三条边，故如果已知三角形的三边，也可用余弦定理解三角形,梳理 余弦定理适合解决的问题：(1)已知两边及其夹角，解三角形；(2)已知三边，解三角形,思考辨析 判断正误 1.勾股定理是余弦定理的特例.( ) 2.余弦定理每个公式中均涉及三角形的四个元素.( ) 3.在ABC中，已知两边及其夹角时，ABC不一定唯一.( ),题型探究,例1 已知ABC
4、，BCa，ACb和角C，求c.,类型一 余弦定理的证明,解答,解 则|c|2cc(ab)(ab) aabb2ab a2b22|a|b|cos C， 所以c2a2b22abcos C.,反思与感悟 所谓证明，就是在新旧知识间架起一座桥梁.桥梁架在哪儿，要勘探地形，证明一个公式，要观察公式两边的结构特征，联系已经学过的知识，看有没有相似的地方.,跟踪训练1 例1涉及线段长度，能不能用解析几何的两点间距离公式来研究这个问题？,解 如图，以A为原点，边AB所在直线为x轴建立 直角坐标系，则A(0,0)，B(c,0)，C(bcos A，bsin A)， BC2b2cos2A2bccos Ac2b2sin
5、2A， 即a2b2c22bccos A. 同理可证b2c2a22cacos B， c2a2b22abcos C.,解答,类型二 用余弦定理解三角形,命题角度1 已知两边及其夹角 例2 在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a3，b2，cos(AB) ，则c等于,答案,解析,解答,因为ba，所以BA， 所以A为锐角，所以A30.,命题角度2 已知三边,解答,解答,解 因为abcsin Asin Bsin C245， 所以可令a2k，b4k，c5k(k0). c最大，所以C为钝角，从而三角形为钝角三角形.,达标检测,答案,1,2,3,4,5,解析,解析 abc，C为最小角且C为锐角，,
6、1,2,3,4,5,解析,答案,答案,1,2,3,3.如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为,4,5,答案,解析,解析 设顶角为C，周长为l，因为l5c，所以ab2c，,1,2,3,4,5,答案,解析,1,2,3,4,5,答案,解析,1,解析 c2a2b22abcos C，,a2a20，即(a2)(a1)0， a1或a2(舍去)，a1.,1.利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题 (1)已知两边和夹角，解三角形. (2)已知三边求三角形的任意一角. 2.余弦定理与勾股定理的关系：余弦定理可以看作是勾股定理的推广，勾股定理可以看作是余弦定理的特例. (1)如果一个三角形两边的平方和大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角. (2)如果一个三角形两边的平方和小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角. (3)如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角.,规律与方法,