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北师大版高中数学必修五课件:1.3.2 等比数列的前n项和(一)

1、第一章 数列,1.3.2 等比数列的前n项和(一),1.掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路. 2.会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题.,学习目标,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,问题导学,思考,知识点一 等比数列的前n项和公式的推导,对于S641248262263,用2乘以等式的两边可得2S64248262263264,对这两个式子作怎样的运算能解出S64?,答案,梳理,设等比数列an的首项是a1,公比是q,前n项和Sn可用下面的“错位相减法”求得. Sna1a1qa1q2a1qn1. 则qSna1qa1q2a1qn1a1qn. 由得(1q)Sna1a1qn

2、.,知识点二 等比数列的前n项和公式的应用,思考,答案,要求等比数列前8项的和: (1)若已知数列的前三项,用哪个公式比较合适?,(2)若已知a1,a9和q,用哪个公式比较合适?,答案,梳理,一般地,使用等比数列求和公式时需注意: (1) 一定不要忽略q1的情况; (2) 知道首项a1、公比q和项数n,可以用 ;知道首尾两项a1,an和q,可以用 ; (3) 在通项公式和前n项和公式中共出现了5个量:a1,n,q,an,Sn.知道其中任意三个,可求其余两个.简称为:“知三求二”.,题型探究,解答,类型一 等比数列前n项和公式的应用,命题角度1 前n项和公式的直接应用 例1 求下列等比数列前8项

3、的和:,解答,反思与感悟,求等比数列前n项和,要确定首项、公比或首项、末项、公比,应特别注意q1是否成立.,跟踪训练1 若等比数列an满足a2a420,a3a540,则公比q_;前n项和Sn_.,答案,解析,2,2n12,设等比数列的公比为q, a2a420,a3a540, 20q40,且a1qa1q320, 解得q2,且a12.,命题角度2 通项公式、前n项和公式的综合应用 例2 在等比数列an中,S230,S3155,求Sn.,解答,方法一 由题意知,方法二 若q1,则S3S232, 而事实上,S3S2316,故q1.,反思与感悟,(1) 在等比数列的通项公式和前n项和公式中,共涉及五个量

4、:a1,an,n,q,Sn,其中首项a1和公比q为基本量,且“知三求二”. (2)在前n项和公式的应用中,注意前n项和公式要分类讨论,即q1和q1时是不同的公式形式,不可忽略q1的情况.,跟踪训练2 在等比数列an中,a12,S36,求a3和q.,解答,由题意,得若q1,则S33a16,符合题意. 此时,q1,a3a12. 若q1,则由等比数列的前n项和公式,,解得q2. 此时,a3a1q22(2)28. 综上所述,q1,a32或q2,a38.,类型二 等比数列前n项和的实际应用,例3 某地投入资金进行生态环境建设,并以此发展旅游产业.根据规划,本年度投入800万元,以后每年投入将比上年减少

5、,本年度当地旅游收入估计为400万元,由于该项建设对旅游业的促进作用,预计今后的旅游业收入每年会比上年增长 .求n年内的总投入与n年内旅游业的总收入.,解答,反思与感悟,解应用题先要认真阅读题目,理解题意后,将文字语言向数字语言转化,建立数学模型,再用数学知识解决问题.,跟踪训练3 一个热气球在第一分钟上升了25 m的高度,在以后的每一分钟里,它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的80%.这个热气球上升的高度能超过125 m吗?,解答,当堂训练,1.等比数列1,x,x2,x3,的前n项和Sn等于,答案,解析,1,2,3,4,答案,解析,2.设等比数列an的公比q2,前n项和为Sn,则 等于,

6、1,2,3,4,1,2,3,4,3.等比数列an的各项都是正数,若a181,a516,则它的前5项的和是 A.179 B.211 C.243 D.275,1,2,3,4,答案,解析,去年产值为a,今年起5年内各年的产值分别为1.1a,1.12a,1.13a,1.14a,1.15a. 1.1a1.12a1.13a1.14a1.15a11a(1.151).,1,2,3,4,4.某厂去年产值为a,计划在5年内每年比上一年产值增长10%,从今年起5年内,该厂的总产值为_.,答案,解析,11a(1.151),规律与方法,1.在等比数列的通项公式和前n项和公式中,共涉及五个量:a1,an,n,q,Sn,其中首项a1和公比q为基本量,且“知三求二”. 2.前n项和公式的应用中,注意前n项和公式要分类讨论,即当q1和q1时是不同的公式形式,不可忽略q1的情况.,本课结束,