1、第一章 数列,1.2.1 等差数列(一),1.理解等差数列的定义. 2.会推导等差数列的通项公式，能运用等差数列的通项公式解决一些简单的问题. 3.掌握等差中项的概念，深化认识并能运用.,学习目标,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,问题导学,思考,知识点一 等差数列的概念,给出以下三个数列： (1)0,5,10,15,20； (2)4,4,4,4； (3)18,15.5,13,10.5,8,5.5. 它们有什么共同的特征？,答案,从第2项起，每项与它的前一项的差是同一个常数.,梳理,从第 项起，每一项与前一项的差等于同一个 ，这个数列称为等差数列，这个常数为等差数列的 ，公差通常用字母d
2、表示.,常数,公差,2,知识点二 等差中项的概念,思考,观察下列所给的两个数之间插入一个什么数后，三个数能成为一个等差数列： (1)2,4；(2)1,5；(3)a，b；(4)0,0.,答案,梳理,如果三个数a，A，b组成等差数列，那么A叫作a和b的等差中项，且 A .,知识点三 等差数列的通项公式,n1,思考,对于等差数列2,4,6,8，有a2a12，即a2a12；a3a22，即a3a22a122；a4a32，即a4a32a132. 试猜想ana1( )2.,梳理,若一个等差数列an，首项是a1，公差为d，则ana1(n1)d.此公式可用累加法证明.,题型探究,例1 判断下列数列是不是等差数列
3、？ (1)9,7,5,3，2n11，； (2)1,11,23,35，12n13，； (3)1,2,1,2，； (4)1,2,4,6,8,10，； (5)a，a，a，a，a，.,解答,类型一 等差数列的概念,由等差数列的定义得(1)，(2)，(5)为等差数列，(3)，(4)不是等差数列.,判断一个数列是不是等差数列，就是判断该数列的每一项减去它的前一项的差是否为同一个常数，但数列项数较多或是无穷数列时，逐一验证显然不行，这时可以验证an1an(n1，nN)是不是一个与n无关的常数.,反思与感悟,跟踪训练1 数列an的通项公式an2n5，则此数列 A.是公差为2的等差数列 B.是公差为5的等差数列
4、 C.是首项为5的等差数列 D.是公差为n的等差数列,an1an2(n1)5(2n5)2， an是公差为2的等差数列.,答案,解析,类型二 等差中项,例2 在1与7之间顺次插入三个数a，b，c使这五个数构成等差数列，求此数列.,解答,反思与感悟,在等差数列an中，由定义有an1ananan1(n2，nN)，即an ，从而由等差中项的定义知，等差数列从第2项起的每一项都是它前一项与后一项的等差中项.,由m和2n的等差中项为4，得m2n8.又由2m和n的等差中项为5，得2mn10.两式相加，得mn6.所以m和n的等差中项为 3.,跟踪训练2 若m和2n的等差中项为4,2m和n的等差中项为5，求m和
5、n的等差中项.,解答,类型三 等差数列通项公式的求法及应用,命题角度1 基本量法求通项公式 例3 在等差数列an中，已知a612，a1836，求通项公式an.,解答,反思与感悟,像本例中根据已知量和未知量之间的关系，列出方程组求解的思想方法，称方程思想.,跟踪训练3 (1)求等差数列8,5,2，的第20项；,由a18，a25，得da2a1583，由n20，得a208(20 1)(3)49.,解答,(2)判断401是不是等差数列5，9，13，的项，如果是，是第几项？,解答,由a15，d9(5)4，得这个数列的通项公式为an5(n1)(4)4n1. 由题意，令4014n1，得n100， 即401是
6、这个数列的第100项.,命题角度2 等差数列的实际应用 例4 某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4 km(不含4 km)计费10元，如果某人乘坐该市的出租车去往14 km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，那么需要支付多少车费？,解答,根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4 km时，每增加1 km，乘客需要支付1.2元. 所以，可以建立一个等差数列an来计算车费. 令a111.2，表示4 km处的车费，公差d1.2， 那么当出租车行至14 km处时，n11， 此时需要支付车费a1111.2(111)1.223.2(元). 即需要支付车费23.2元.,反思与感悟,
7、在实际问题中，若一组数依次成等数额增长或下降，则可考虑利用等差数列方法解决.在利用数列方法解决实际问题时，一定要分清首项、项数等关键问题.,跟踪训练4 在通常情况下，从地面到10 km高空，高度每增加1 km，气温就下降某一个固定数值.如果1 km高度的气温是8.5，5 km高度的气温是17.5，求2 km，4 km,8 km高度的气温.,解答,用an表示自下而上各高度气温组成的等差数列，则a18.5， a517.5， 由a5a14d8.54d17.5，解得d6.5， an156.5n.a22，a411，a837， 即2 km,4 km,8 km高度的气温分别为 2，11，37.,当堂训练,由
8、等差数列的定义，得da2a1112.,1.已知等差数列an的通项公式an32n，则它的公差d为 A.2 B.3 C.2 D.3,答案,解析,1,2,3,因为A，B，C成等差数列， 所以B是A，C的等差中项，则有AC2B， 又因为ABC180，所以3B180，从而B60.,2.已知在ABC中，三内角A，B，C成等差数列，则角B等于 A.30 B.60 C.90 D.120,答案,解析,1,2,3,3.等差数列an中，已知a1 ，a2a54，an33，求n的值.,1,2,3,解答,规律与方法,1.判断一个数列是不是等差数列的常用方法： (1)an1and(d为常数，nN)an是等差数列； (2)2an1anan2(nN)an是等差数列； (3)anknb(k，b为常数，nN)an是等差数列. 但若要说明一个数列不是等差数列，则只需举出一个反例即可.,2.由等差数列的通项公式ana1(n1)d可以看出，只要知道首项a1和公差d，就可以求出通项公式，反过来，在a1，d，n，an四个量中，只要知道其中任意三个量，就可以求出另一个量.,本课结束,