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北师大版高中数学必修五课件:1.2.1 等差数列(二)

1、第一章 数列,1.2.1 等差数列(二),1.能根据等差数列的定义推出等差数列的常用性质. 2.能运用等差数列的性质解决有关问题.,学习目标,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,问题导学,思考1,知识点一 等差数列通项公式的推广,已知等差数列an的首项a1和公差d能表示出通项ana1(n1)d,如果已知第m项am和公差d,又如何表示通项an?,答案,设等差数列的首项为a1,则ama1(m1)d, 变形得a1am(m1)d, 则ana1(n1)dam(m1)d(n1)d am(nm)d.,思考2,由思考1可得d ,d ,你能联系直线的斜率解释一下这两个式子的几何意义吗?,答案,等差数列通项公

2、式可变形为andn(a1d),其图像为一条直线上孤立的一系列点,(1,a1),(n,an),(m,am)都是这条直线上的点.d为直线的斜率,故两点(1,a1),(n,an)连线的斜率d .当两点为(n,an),(m,am)时,有d .,梳理,等差数列an中,若公差为d,则anam(nm)d,当nm时, d .,知识点二 等差数列的性质,利用1100299.在有穷等差数列中,与首末两项“等距离”的两项之和等于首项与末项的和.即a1ana2an1a3an2.,思考,还记得高斯怎么计算123100的吗?推广到一般的等差数列,你有什么猜想?,答案,梳理,在等差数列an中,若mnpq(m,n,p,qN)

3、,则am ap .特别地,若mn2p,则anam2ap.,an,aq,知识点三 由等差数列衍生的新数列,(an1an3)(anan2) (an1an)(an3an2) dd2d. anan2是公差为2d的等差数列.,思考,若an是公差为d的等差数列,那么anan2是等差数列吗?若是,公差是多少?,答案,梳理,若an,bn分别是公差为d,d的等差数列,则有,题型探究,例1 在等差数列an中,已知a25,a817,求数列的公差及通项公式.,解答,类型一 等差数列推广通项公式的应用,因为a8a2(82)d,所以1756d,解得d2. 又因为ana2(n2)d,所以an5(n2)22n1.,灵活利用等

4、差数列的性质,可以减少运算.,反思与感悟,跟踪训练1 数列an的首项为3,bn为等差数列,且bnan1an(nN),若b32,b1012,则a8等于 A.0 B.3 C.8 D.11,答案,解析,bn为等差数列,设公差为d,则d 2,bnb3(n3)d2n8. a8(a8a7)(a7a6)(a6a5)(a5a4)(a4a3)(a3a2) (a2a1)a1 b7b6b1a1 (b7b1)(b6b2)(b5b3)b4a1 7b4a17033.,类型二 等差数列与一次函数的关系,例2 已知数列an的通项公式anpnq,其中p,q为常数,那么这个数列一定是等差数列吗?若是,首项和公差分别是多少?,取数

5、列an中任意相邻两项an和an1(n1), 求差得anan1(pnq)p(n1)qpnq(pnpq)p. 它是一个与n无关的常数,所以an是等差数列. 由于anpnqqp(n1)p, 所以首项a1pq,公差dp.,解答,反思与感悟,判断一个数列是不是等差数列的常用方法: (1)从递推公式上看,an1and(d为常数,nN)an是等差数列; (2)从任意连续三项关系上看,2an1anan2(nN)an是等差数列; (3)从通项公式代数特点上看,anknb(k,b为常数,nN)an是等差数列. 但若要说明一个数列不是等差数列,则只需举出一个反例即可.如:其中某连续三项不成等差数列;存在nN,an1

6、an的结果不等于同一个常数等.,跟踪训练2 若数列an满足a115,3an13an2,则使akak10的 k值为_.,答案,解析,23,类型三 等差数列性质的应用,例3 已知等差数列an中,a1a4a715,a2a4a645,求此数列的通项公式.,解答,方法一 因为a1a72a4,a1a4a73a415, 所以a45. 又因为a2a4a645,所以a2a69, 即(a42d)(a42d)9,(52d)(52d)9, 解得d2. 若d2,ana4(n4)d2n3; 若d2,ana4(n4)d132n.,方法二 设等差数列的公差为d, 则由a1a4a715,得 a1a13da16d15, 即a13

7、d5, 由a2a4a645, 得(a1d)(a13d)(a15d)45, 将代入上式,得 (a1d)5(52d)45, 即(a1d)(52d)9, ,解,组成的方程组,得a11,d2或a111,d2, an12(n1)2n3 或an112(n1)2n13.,引申探究 1.在例3中,不难验证a1a4a7a2a4a6,那么,在等差数列an中,若mnpqrs,m,n,p,q,r,sN,是否有amanapaqaras?,解答,设公差为d,则ama1(m1)d, ana1(n1)d, apa1(p1)d, aqa1(q1)d, ara1(r1)d, asa1(s1)d, amanap3a1(mnp3)d

8、, aqaras3a1(qrs3)d, mnpqrs, amanapaqaras.,2.在等差数列an中,已知a3a810,则3a5a7_.,a3a810, a3a3a8a820. 33885557, a3a3a8a8a5a5a5a7, 即3a5a72(a3a8)20.,答案,解析,20,反思与感悟,解决等差数列运算问题的一般方法:一是灵活运用等差数列an的性质;二是利用通项公式,转化为等差数列的首项与公差的求解,属于通项方法;或者兼而有之.这些方法都运用了整体代换与方程的思想.,跟踪训练3 在等差数列an中,已知a1a4a739,a2a5a833,求a3a6a9的值.,解答,方法一 (a2a

9、5a8)(a1a4a7)3d, (a3a6a9)(a2a5a8)3d, a1a4a7,a2a5a8,a3a6a9成等差数列. a3a6a92(a2a5a8)(a1a4a7) 2333927.,方法二 a1a4a7a1(a13d)(a16d) 3a19d39, a13d13, a2a5a8(a1d)(a14d)(a17d) 3a112d33. a14d11, ,a3a6a9(a12d)(a15d)(a18d) 3a115d31915(2)27.,当堂训练,1.等差数列an中,已知a310,a820,则公差d等于 A.3 B.6 C.4 D.3,答案,解析,1,2,3,由a8a4(84)d4d,得

10、d3, 所以a15a8(158)d147335.,答案,解析,1,2,3,2.在等差数列an中,已知a42,a814,则a15等于 A.32 B.32 C.35 D.35,由数列的性质,得a4a5a2a7, 所以a215123.,1,2,3,答案,解析,3.等差数列an中,a4a515,a712,则a2等于 A.3 B.3 C. D.,规律与方法,1.在等差数列an中,当mn时,d ,利用这个公式很容易求出公差,还可变形为aman(mn)d. 2.等差数列an中,每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列,构成的新数列仍然是等差数列.,3.等差数列an中,若mnpq,则anamapaq(n,m,p, qN),特别地,若mn2p,则anam2ap. 4.在等差数列an中,首项a1与公差d是两个最基本的元素;有关等差数列的问题,如果条件与结论间的联系不明显,则均可根据a1,d的关系列方程组求解,但是,要注意公式的变形及整体计算,以减少计算量.,本课结束,