1、章末复习课,第二章 平面向量,学习目标 1.理解向量、零向量、向量的模、单位向量、平行向量、相反向量、相等向量、两向量的夹角等概念. 2.了解平面向量基本定理. 3.向量加法的平行四边形法则(共起点)和三角形法则(首尾相接). 4.了解向量形式的三角形不等式：|a|b|ab|a|b|和向量形式的平行四边形定理：2(|a|2|b|2)|ab|2|ab|2.,5.了解实数与向量的乘法(即数乘的意义). 6.向量的坐标概念和坐标表示法. 7.向量的坐标运算(加、减、实数和向量的乘法、数量积). 8.数量积(点乘或内积)的概念：ab|a|b|cos x1x2y1y2，注意区别“实数与向量的乘法，向量与
2、向量的乘法”.,题型探究,知识梳理,内容索引,当堂训练,知识梳理,1.向量的运算：设a(x1，y1)，b(x2，y2).,三角形,平行四边形,(x1x2，y1y2),三角形,(x1x2，y1y2),(x1，y1),相同,相反,x1x2y1y2,2.两个定理 (1)平面向量基本定理 定理：如果e1，e2是同一平面内的两个 向量，那么对于这一平面内的 向量a，存在唯一对实数1，2，使a . 基底：把 的向量e1，e2叫作表示这一平面内 向量的一组基底. (2)向量共线定理 向量a(a0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数，使 .,不共线,任一,1e12e2,不共线,所有,ba,3.向量的平行与垂直
3、a，b为非零向量，设a(x1，y1)，b(x2，y2).,ba(a0),ab0,x1x2y1y20,题型探究,答案,解析,类型一 向量的线性运算,反思与感悟,向量共线定理和平面向量基本定理是进行向量合成与分解的核心，是向量线性运算的关键所在，常应用它们解决平面几何中的共线、共点问题.,跟踪训练1 在ABC中，E为线段AC的中点，试问在线段AC上是否存在一点D，使得 ，若存在，说明D点位置；若不存在，说明理由.,解答,类型二 向量的数量积运算,解答,例2 已知a(cos ，sin )，b(cos ，sin )，且|kab| |akb|(k0). (1)用k表示数量积ab；,得(kab)23(ak
4、b)2， k2a22kabb23a26kab3k2b2， (k23)a28kab(13k2)b20.,k238kab13k20，,(2)求ab的最小值，并求出此时a与b的夹角的大小.,60.,解答,反思与感悟,数量积运算是向量运算的核心，利用向量数量积可以解决以下问题： (1)设a(x1，y1)，b(x2，y2)， abx1y2x2y10， abx1x2y1y20. (2)求向量的夹角和模的问题 设a(x1，y1)，则|a| . 两向量夹角的余弦(0),跟踪训练2 已知向量 (3，4)， (6，3)， (5m，(3m). (1)若点A，B，C能构成三角形，求实数m应满足的条件；,解答,解 若点
5、A，B，C能构成三角形，则这三点不共线，,解答,(2)若ABC为直角三角形，且A为直角，求实数m的值.,类型三 向量坐标法在平面几何中的应用,解答,例3 已知在等腰ABC中，BB，CC是两腰上的中线，且BBCC，求顶角A的余弦值的大小.,解 建立如图所示的平面直角坐标系，,设A(0，a)，C(c，0)，则B(c，0)，,因为BB，CC为AC，AB边上的中线，,反思与感悟,把几何图形放到适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而解决问题.这样的解题方法具有普遍性.,答案,解析,解析 由题意，得AOC90，故以O为坐标原点，OC，OA所在直线分别为x
6、轴，y轴建立平面直角坐标系，,当堂训练,1.在菱形ABCD中，若AC2，则 等于 A.2 B.2 C.| |cos A D.与菱形的边长有关,答案,解析,1,2,3,4,5,202.,A.20 B.15 C.9 D.6,答案,解析,解析 ABCD的图像如图所示，由题设知，,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,3.已知向量a(1， )，b(3，m).若向量a，b的夹角为 ，则实数m等于,答案,解析,答案,解析,1,2,3,4,5,解析 由题意可知，AOB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，,5.平面向量a( ，1)，b ，若存在不同时为0的实数k和t，使xa(t23)b，ykatb，且xy，试求函数关系式kf(t).,得ab0，|a|2，|b|1. 由xy，得a(t23)b(katb)0， ka2tabk(t23)abt(t23)b20， 即4kt33t0，,解答,1,2,3,4,5,1.由于向量有几何法和坐标法两种表示方法，它的运算也因为这两种不同的表示方法而有两种方式，因此向量问题的解决，理论上讲总共有两个途径，即基于几何表示的几何法和基于坐标表示的代数法，在具体做题时要善于从不同的角度考虑问题. 2.向量是一个有“形”的几何量，因此，在研究向量的有关问题时，一定要结合图形进行分析判断求解，这是研究平面向量最重要的方法与技巧.,规律与方法,本课结束,