1、4.3 向量平行的坐标表示,第二章 4 平面向量的坐标,学习目标 1.理解用坐标表示的平面向量共线的条件. 2.能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线. 3.掌握三点共线的判断方法.,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,问题导学,知识点 向量平行,已知下列几组向量： (1)a(0，3)，b(0，6)； (2)a(2，3)，b(4，6)； (3)a(1，4)，b(3，12)； (4)a( ，1)，b( ，1).,思考1,上面几组向量中，a，b有什么关系？,答案,答案 (1)(2)中b2a，(3)中b3a，(4)中ba.,思考2,以上几组向量中，a，b共线吗？,答案,答案 共线.,思考3,当a
2、b时，a，b的坐标成比例吗？,答案 坐标不为0时成正比例.,思考4,如果两个非零向量共线，你能通过其坐标判断它们是同向还是反向吗？,答案,答案 能.将b写成a的形式，当0时，b与a同向，当0时， b与a反向.,设a，b是非零向量，且a(x1，y1)，b(x2，y2). (1)当ab时，有 . (2)当ab且b不平行于坐标轴，即x20，y20时，有 .即若两个向量(与坐标轴不平行)平行，则它们相应的坐标 ；若两个向量相对应的坐标成比例，则它们 .,梳理,x1y2x2y10,成比例,平行,题型探究,类型一 向量共线的判定与证明,例1 (1)下列各组向量中，共线的是 A.a(2，3)，b(4，6)
3、B.a(2，3)，b(3，2) C.a(1，2)，b(7，14) D.a(3，2)，b(6，4),答案,解析,解析 A选项，(2)634240， a与b不平行； B选项，22334950，a与b不平行； C选项，114(2)7280，a与b不平行； D选项，(3)(4)2612120，ab， 故选D.,(2)已知A(2，1)，B(0，4)，C(1，3)，D(5，3).判断与 是 否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？,解答,方法一 (2)(6)340且(2)40，,此类题目应充分利用向量共线定理或向量共线坐标的条件进行判断，特别是当利用向量共线坐标的条件进行判断时，要注意坐标之间的搭配.,
4、反思与感悟,跟踪训练1 已知A，B，C三点的坐标分别为(1，0)，(3，1)，(1，2)， ，求证： .,证明,证明 设E(x1，y1)，F(x2，y2).,例2 已知a(1，2)，b(3，2)，当k为何值时，kab与a3b平行？,类型二 利用向量共线求参数,解答,解 方法一 kabk(1，2)(3，2)(k3，2k2)， a3b(1，2)3(3，2)(10，4)， 当kab与a3b平行时，存在唯一实数， 使kab(a3b). 由(k3，2k2)(10，4)，,方法二 由方法一知kab(k3，2k2). a3b(10，4)， kab与a3b平行， (k3)(4)10(2k2)0，解得k .,引
5、申探究 1.若本例条件不变，判断当kab与a3b平行时，它们是同向还是反向？,解答,kab与a3b反向.,2.在本例中已知条件不变，若问题改为“当k为何值时，akb与3ab平行？”，又如何求k的值？,解答,解 akb(1，2)k(3，2)(13k，22k)， 3ab3(1，2)(3，2)(6，4). akb与3ab平行， (13k)4(22k)60， 解得k .,根据向量共线条件求参数问题，一般有两种思路，一是利用向量共线定理ab(b0)列方程组求解，二是利用向量共线的坐标表达式x1y2x2y10求解.,反思与感悟,跟踪训练2 设向量a(1，2)，b(2，3)，若向量ab与向量c(4，7)共线
6、，则_.,解析 ab(1，2)(2，3)(2，23)， ab与c共线， (2)(7)(23)(4)20， 2.,2,答案,解析,例3 已知向量 (k，12)， (4，5)， (10，k).当k为何值时，A，B，C三点共线？,类型三 三点共线问题,解答,(4k)(k12)7(10k)， 解得k2或11.,当k2或11时，A，B，C三点共线.,(1)三点共线问题的实质是向量共线问题，两个向量共线只需满足方向相同或相反，两个向量共线与两个向量平行是一致的，利用向量平行证明三点共线需分两步完成：证明向量平行；证明两个向量有公共点. (2)若A，B，C三点共线，即由这三个点组成的任意两个向量共线.,反思
7、与感悟,跟踪训练3 已知A(1，3)，B ，C(9，1)，求证：A，B，C三点共线.,A，B，C三点共线.,证明,当堂训练,1.已知a(1，2)，b(2，y)，若ab，则y的值是 A.1 B.1 C.4 D.4,2,3,4,5,1,解析 ab，(1)y220，y4.,答案,解析,2,3,4,5,1,答案,解析,2.与a(6，8)平行的单位向量为,2,3,4,5,1,解析 设与a平行的单位向量为e(x，y)，,3.已知三点A(1，2)，B(2，4)，C(3，m)共线，则m的值为_.,答案,2,3,4,5,1,解析,6,即(1，2)(2，m2)(2，m2).,即当m6时，A，B，C三点共线.,证明
8、,2,3,4,5,1,4.已知四边形ABCD的四个顶点A，B，C，D的坐标依次是(3，1)， (1，2)，(1，1)，(3，5).求证：四边形ABCD是梯形.,证明 A(3，1)，B(1，2)，C(1，1)，D(3，5)，,ABCD，且ABCD， 四边形ABCD是梯形.,解答,2,3,4,5,1,5.已知A(3，5)，B(6，9)，M是直线AB上一点，且| |3| |，求点M的坐标.,解 设点M的坐标为(x，y).,2,3,4,5,1,规律与方法,1.两个向量共线条件的表示方法 已知a(x1，y1)，b(x2，y2)， (1)当b0，ab. (2)x1y2x2y10. (3)当x2y20时， ，即两向量的相应坐标成比例.,2.向量共线的坐标表示的应用 (1)已知两个向量的坐标判定两向量共线.联系平面几何平行、共线知识，可以证明三点共线、直线平行等几何问题.要注意区分向量的共线、平行与几何中的共线、平行. (2)已知两个向量共线，求点或向量的坐标，求参数的值，求轨迹方程.要注意方程思想的应用，向量共线的条件，向量相等的条件等都可作为列方程的依据.,本课结束,