1、2.3.2 等比数列的通项公式(二),第2章 2. 3 等比数列,1.灵活应用等比数列的定义及通项公式. 2.熟悉等比数列的有关性质. 3.系统了解判断是否成等比数列的方法.,学习目标,栏目索引,知识梳理 自主学习,题型探究 重点突破,当堂检测 自查自纠,知识梳理 自主学习,知识点一 推广的等比数列的通项公式 an是等比数列，首项为a1，公比为q，则an ，an (m、nN*，mn). 思考1 如何推导anamqnm?,答案,a1qn1,amqnm,答案 根据等比数列的通项公式， ana1qn1， ama1qm1， an am qnm，anamqnm.,思考2 若已知等比数列an中，q3，a3
2、3，则a7 .,解析答案,解析 a7a3q433435243.,243,知识点二 等比数列的性质 1.如果mnkl，则有 . 2.如果mn2k，则有aman . 3.若m，n，p成等差数列，则am，an，ap成等比数列. 4.在等比数列an中，每隔k项(kN*)取出一项，按原来的顺序排列，所得的新数列仍为 数列.,答案,amanakal,等比,6.等比数列的项的对称性：在有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a1an .,答案,a2an1,akank1,解析答案,a7,返回,题型探究 重点突破,题型一 等比数列的性质及应用 例1 (1)在等比数列an中，若a3a69
3、，a2a4a527，则a2的值为 .,解析答案,解析 因为an为等比数列，所以a3a6a4a59， 又因为a2a4a527，所以a23.,3,(2)已知公比为q的等比数列an中，a5a9 1 2 q，则a6(a22a6a10)的值为.,解析答案,反思与感悟,在等比数列的有关运算中，常常涉及到次数较高的指数运算.若按常规解法，往往是建立a1，q的方程组，这样解起来很麻烦，通过本例可以看出：结合等比数列的性质进行整体变换，会起到化繁为简的效果.,反思与感悟,跟踪训练1 (1)在等比数列an中，a7a116，a4a145，则 a20 a10 .,解析答案,解析 a7a11a4a146， 又a4a14
4、5，,(2)已知数列an是等比数列，且an0，a2a42a3a5a4a625，那么a3a5 .,解析答案,解析 由a2a42a3a5a4a625，,an0，a3a50， a3a55.,5,题型二 灵活设项求解等比数列 例2 已知4个数成等比数列，其乘积为1，第2项与第3项之和为 3 2 ，则此4个数为.,解析答案,反思与感悟,解析 设此4个数为a，aq，aq2，aq3. 则a4q61，,解析答案,反思与感悟,反思与感悟,灵活设项求解等比数列的技巧 (1)三数成等比数列，一般可设为 a q ，a，aq； (2)四数成等比数列，一般可设为 a q3 ， a q ，aq，aq3或a，aq，aq2，a
5、q3，但前一种设法的公比为q2(公比大于0)； (3)五数成等比数列，一般可设为 a q2 ， a q ，a，aq，aq2.,反思与感悟,解析答案,跟踪训练2 有四个实数，前三个数依次成等比数列，它们的积是8，后三个数依次成等差数列，它们的积为80，求出这四个数.,题型三 等比数列的实际应用 例3 为了治理“沙尘暴”，西部某地区政府经过多年努力，到2014年底，将当地沙漠绿化了40%，从2015年开始，每年将出现这种现象：原有沙漠面积的12%被绿化，即改造为绿洲(被绿化的部分叫绿洲)，同时原有绿洲面积的8%又被侵蚀为沙漠，问至少经过几年的绿化，才能使该地区的绿洲面积超过50%？(可参考数据lg
6、 20.3，最后结果精确到整数).,解析答案,反思与感悟,解 设该地区总面积为1,2014年底绿化面积为a1 2 5 ，经过n年后绿洲面积为an1，设2014年底沙漠面积为b1，经过n年后沙漠面积为bn1，则a1b11，anbn1. 依题意，an1由两部分组成：一部分是原有绿洲an减去被侵蚀的部分8%an的剩余面积92%an，另一部分是新绿化的12%bn，所以,解析答案,反思与感悟,反思与感悟,所以至少需要4年才能使绿化面积超过50%.,本题将实际问题抽象出一个数列问题，解决数列应用题的关键是读懂题意，建立数学模型，弄清问题的哪一部分是数列问题，是哪种数列.在求解过程中应注意首项的确立，时间的
7、推算，避免在运算中出现问题.,反思与感悟,解析答案,跟踪训练3 2015年，某县甲、乙两个林场森林木材的存量分别为16a和25a，甲林场木材存量每年比上年递增25%，而乙林场木材存量每年比上年递减20%. (1)求哪一年两林场木材的总存量相等？,解 由题意可得 16a(125%)n125a(120%)n1， 解得n2， 故到2017年两林场木材的总存量相等.,解析答案,(2)问两林场木材的总量到2019年能否翻一番？,故到2019年不能翻一番.,返回,当堂检测,1,2,3,4,5,1.在正项等比数列an中，an1an，a2a86，a4a65，则 a5 a7 .,解析 设公比为q，则由等比数列a
8、n各项为正数且an1an知0q1，,解析答案,1,2,3,4,5,2.等比数列an中，a24，a7 1 16 ，则a3a6a4a5的值是.,解析答案,3.在正项等比数列an中，3a1， 1 2 a3，2a2成等差数列，则 a2 016a2 017 a2 014a2 015 .,9,可得a33a12a2， 即a1q23a12a1q， a10，q22q30. 解得q3或q1(舍).,1,2,3,4,5,解析答案,1,2,3,4,5,解析答案,4.已知数列：4，a,12，b中，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，则b .,解析 由题意可得2a41216a8，又1228bb18.,18,1,2,3,4,5,解析答案,5.在 1 2 和8之间插入3个数，使它们与这两个数依次构成等比数列，则这3个数的积为.,8,课堂小结,1.等比数列的性质及其应用 巧用等比数列的性质，减少计算量，这一点很重要. 2.灵活设项解决等比数列的问题.,返回,